[論文レビュー] Representation theory and tensor product theory for vertex operator algebras

Haisheng Li|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 88

ひとこと要約

この論文は、普遍的性質を用いて、頂点 operator 代数（VOA）の加群に対する普遍的なテンソル積構成を確立し、同型を除いて可換性と単位的性質を証明するとともに、Frenkel と Zhu の A(M)-理論および融合則と関連付ける。一般化された相互作用作用素を導入し、その空間が一般化された加群をなすことを証明し、有理的 VOA に対して Tsuchiya と Kanie の方法と同一の融合則が得られることを示す。

ABSTRACT

We first formulate a definition of tensor product for two modules for a vertex operator algebra in terms of a certain universal property and then we give a construction of tensor products. We prove the unital property of the adjoint module and the commutativity of tensor products, up to module isomorphism. We relate this tensor product construction with Frenkel and Zhu's $A(M)$-theory. We give a proof of a formula of Frenkel and Zhu for fusion rules. We also give the analogue of the ``Hom''-functor of classical Lie algebra theory for vertex operator algebra theory by introducing a notion of ``generalized intertwining operator.'' We prove that the space of generalized intertwining operators from one module to another for a vertex operator algebra is a generalized module. From this result we derive a general form of Tsuchiya and Kanie's ``nuclear democracy theorem'' for any rational vertex operator algebra. This proves that the fusion rules obtained from our construction of tensor products are the same as the fusion rules obtained by using Tsuchiya and Kanie's method, for both WZW models and minimal models. We prove that if $V$ satisfies certain ``finiteness'' and ``semisimplicity'' conditions, then there exists a unique maximal submodule inside the generalized module. Furthermore, we prove that this maximal submodule is isomorphic to the contragredient module of a certain tensor product module. This gives another construction of tensor product modules and this result turns out to be closely related to Huang and Lepowsky's construction.

研究の動機と目的

• 古典的代数的構成に類似した、頂点演算子代数（VOA）加群の普遍的テンソル積関手を構築すること。
• テンソル積が加群の同型を除いて可換的かつ単位的であることを証明すること。
• 新しいテンソル積構成を Frenkel と Zhu の A(M)-理論と関連づけ、彼らの融合則の公式を導出すること。
• 一般化された相互作用作用素を導入し、その空間が一般化された加群をなすことを証明すること。
• 有理的 VOA に対して、このテンソル積構成から得られる融合則が Tsuchiya と Kanie の方法と一致することを示すこと。

提案手法

• 二つの VOA 加群のテンソル積を普遍的性質によって定義し、同型を除いて一意であることを保証する。
• 加群から来る記号 a(n) によって生成される自由加群の商を用いて、テンソル積を明示的に構成する。
• 一般化されたヴェルマ加群および PBW 定理の概念を用いて、テンソル積空間の構造を分析する。
• 一般化された相互作用作用素を、リー代数理論における Hom-関手のバーチャルなバージョンとして導入する。
• 一つの加群から別の加群への一般化された相互作用作用素の空間が、VOA の作用に関して一般化された加群をなすことを証明する。
• 理論を応用して、核民主主義定理を用いて、テンソル積構成が Tsuchiya と Kanie の方法と同一の融合則を与えることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍的性質を用いて、頂点演算子代数の加群に対して普遍的テンソル積構成を定義できるか？
• RQ2 このテンソル積構成から得られる融合則は、Frenkel と Zhu の A(M)-理論から得られるものとどのように比較できるか？
• RQ3 一般化された相互作用作用素の空間は VOA の作用に関して閉じており、一般化された加群をなすか？
• RQ4 有理的 VOA に対して、このテンソル積構成は Tsuchiya と Kanie の方法と同一の融合則を与えるか？
• RQ5 二つの非零 VOA 加群のテンソル積が消える条件は何か？これは加群の圏の構造にどのような含意を持つのか？

主な発見

• 頂点演算子代数の二つの加群のテンソル積は存在し、同型を除いて一意であり、普遍的性質を満たす。
• 随伴加群はテンソル積の単位元として機能し、テンソル積は加群の同型を除いて可換である。
• 新しいテンソル積構成によって得られる融合則は、Frenkel と Zhu の A(M)-理論から得られるものと一致し、彼らの公式が証明される。
• 一つの加群から別の加群への一般化された相互作用作用素の空間は、一般化された加群をなす。これは Hom-関手の一般化である。
• 任意の有理的頂点演算子代数に対して、テンソル積構成は Tsuchiya と Kanie の方法と同一の融合則を与える。これは等価性を示す。
• 二つの非零加群のテンソル積がゼロとなる例が存在し、これは有理的 VOA に対しても VOA 加群の圏が半単純でないことを示している。