[論文レビュー] Representation theory for categorical symmetries

Thomas Bartsch, Mathew Bullimore+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2023

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 13

ひとこと要約

本論文は、高次のチューブ範疇と代数を用いて、D≥2の量子場理論における高次融合範疇対称性が拡張演算子に作用する様子を記述する。これによりチューブ表現をサンドイッチ構成を介してDrinfeld中心と結びつけ、3次元の明示的な例を示す。

ABSTRACT

This paper addresses the question of how categorical symmetries act on extended operators in quantum field theory. Building on recent results in two dimensions, we introduce higher tube categories and algebras associated to higher fusion category symmetries. We show that twisted sector extended operators transform in higher representations of higher tube algebras and interpret this result from the perspective of the sandwich construction of finite symmetries via the Drinfeld center. Focusing on three dimensions, we discuss a variety of examples to illustrate the general constructions. In the case of invertible symmetries, we show that higher tube algebras are higher analogues of twisted Drinfeld doubles of finite groups, generalising known constructions in two dimensions. Building on this foundation, we discuss non-invertible Ising-like symmetry categories obtained by gauging finite subgroups. We also consider non-invertible topological symmetry lines described by braided fusion categories and discuss connections to the Müger center and braided module categories.

研究の動機と目的

• D≥2のQFTにおいて、球状融合(D-1)-カテゴリ対称性がねじれたセクターおよび拡張演算子に作用することを動機づけ、形式化する。
• これらの対称性がn-ねじれたセクター演算子に作用することを符号化する高次チューブ範疇と高次チューブ代数を導入する。
• サンドイッチ構成を通じてチューブ表現と圏中心との対応を確立する。
• 可逆および非可逆対称性のケースを含む具体的な3D例を提供し、braided圏および Müger中心と関連づける。

提案手法

• 上位のチューブ範疇 T_{S^d}(C) を、位相的対称欠陥が n-ねじれたセクター演算子に作用することをエンコードする n-カテゴリーとして定義する。
• チューブ範疇の射によって生成される高次チューブ代数 A_{S^d}(C) を導入し、 [T_{S^d}(C), nVec] ≅ Rep(A_{S^d}(C)) を示す。
• チューブ表現をサンドイッチ構成と関連づけ、[T_{S^d}(C), nVec] を TV_C(S^d) および Z(C) と、Drinfeld中心とループ化を介して結びつける。
• D=3 に特化して、1-および2-ねじれたセクター演算子への作用に関する明示的な構成を示す。
• 異常な有限2群対称性、Ising様の非可逆ケース、 Müger中心および braidedモジュールを介した braided 融合圏の例について議論する。
• 可逆の場合のねじれた Drinfeld ダブルの高次類似を説明し、非可逆な高次対称性への拡張の輪郭を示す。

Figure 2:

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D≥2の量子場理論において、上位の融合範疇（圏）対称性はねじれたセクターおよび拡張演算子にいかに作用するか。
• RQ2 これらの作用を捉える適切な高次チューブ範疇と高次チューブ代数とは何か、そしてそれらの表現は既知の中心または doubles とどう関連するか。
• RQ3 サンドイッチ構成は高次元および非可逆対称性へどのように一般化されるか、この文脈で Drinfeld中心の役割は何か。
• RQ4 可逆および非可逆対称性のチューブ表現の構造を illustrating する具体的な3D例は何か、Ising様およびbraidedの場合を含む。
• RQ5 braided 融合圏が存在する状況で、上位のチューブ表現は braided モジュール圏や Müger中心とどのように結びつくか。

主な発見

• D=2 における融合圏 C のチューブ表現はチューブ代数 A(C) の表現に同値であり、Drinfeld中心 Z(C) を再現する。
• D=3 では、1-ねじれたセクター演算子への作用はチューブ範疇 T_{S^2}(C) によって捉えられ、その表現は Drinfeld中心のループ付け Omega Z(C) に対応する。
• 高次チューブ範疇 T_{S^d}(C) および高次チューブ代数 A_{S^d}(C) は、D≥2 における非可逆および可逆対称性を表現する統一的な枠組みを提供し、 [T_{S^d}(C), nVec] ≅ Rep(A_{S^d}(C))。
• サンドイッチ構成はより高次の圏対称性へ拡張され、Tube表現と TV_C のバulkトポロロジー欠陥およびそれらの S^d-連結欠陥とを結びつける。
• 可逆な場合はひねれた Drinfeld ダブルを高次設定へ一般化し、非可逆な例（例：Ising様）は有限部分群のゲージ化から生じ、braided 構造および Müger中心と関連する。
• この枠組みは braided 融合圏と braided モジュール圏を包含し、 Müger中心および高次元の一般化中心と結びつく。

Figure 3: