[論文レビュー] Representation Theory of an Infinite Quiver

R. Bautista, Shiping Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の2頂点間の経路が有限個である無限クーヴィーの、有限生成表現の圏におけるアウスランダー＝レーゼン理論を展開する。準完全列を構成し、アウスランダー＝レーゼン成分を分類——正則成分が無限個存在するための必要十分条件は、クーヴィーが有限または無限ディンキン型でない場合に限る——し、導来圏への拡張を行い、準完全三角形の存在がクーヴィーに無限経路がない場合に限ることを証明する。

ABSTRACT

This paper deals with the representation theory of a locally finite quiver in which the number of paths between any two given vertices is finite. We first study some properties of the finitely presented or co-presented representations, and then construct in the category of locally finite dimensional representations some almost split sequences which start with a finitely co-presented representation and end with a finitely presented representation. Furthermore, we obtain a general description of the shapes of the Auslander-Reiten components of the category of finitely presented representations and prove that the number of regular Auslander-Reiten components is infinite if and only if the quiver is not of finite or infinite Dynkin type. In the infinite Dynkin case, we shall give a complete list of the indecomposable representations and an explicit description of the Auslander-Reiten components. Finally, we apply these results to study the Auslander-Reiten theory in the derived category of bounded complexes of finitely presented representations.

研究の動機と目的

• 任意の2頂点間の経路が有限個である無限クーヴィーの有限生成表現の圏におけるアウスランダー＝レーゼン理論を発展させること。
• この圏におけるアウスランダー＝レーゼン成分の構造、特に前正則的・前余正則的・正則成分を特徴づけること。
• 有限生成表現の有界導来圏への理論の拡張を行い、準完全三角形の存在条件を特定すること。
• 無限ディンキン型 A∞, A∞∞, D∞ における非分解表現および準完全列の完全分類を提供すること。
• 有限生成表現の圏における左および右準完全列の存在に必要な十分条件を確立すること。

提案手法

• 有限生成／コ生成表現の一般化として、ほぼ有限生成およびほぼコ生成表現を導入し、組合せ的特徴づけを用いる。
• 局所有限次元表現の圏において準完全列を構成し、有限コ生成表現から始まり、有限生成表現に終わる。
• クルール＝シュマイト性を用いて、有限生成表現のアウスランダー＝レーゼンクーヴィーを前正則的・前余正則的・正則成分に分解する。
• 部分クーヴィーおよびレイト・クーヴィーの構造を用い、無限クーヴィーの表現をその有限部分クーヴィーの表現と関連付ける。
• 翻訳クーヴィー技術および成分の接続性の概念を用い、導来圏におけるアウスランダー＝レーゼンクーヴィーの形状を記述する。
• 有界複体の有限生成表現の導来圏を用い、τおよびτ⁻¹関手の振る舞いを分析することで、準完全三角形の存在を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限クーヴィーの有限生成表現の圏が左または右準完全列をもつのは、どのような場合か？
• RQ2 有限生成表現のアウスランダー＝レーゼンクーヴィーの構造、特に正則成分の形状と数は何か？
• RQ3 有界複体の有限生成表現の導来圏が準完全三角形をもつのは、どのような条件下か？
• RQ4 導来圏におけるアウスランダー＝レーゼン成分は、元の圏のそれらとどのように関係するか？
• RQ5 無限ディンキン型 A∞, A∞∞, D∞ における非分解表現の完全分類は何か？

主な発見

• 正則アウスランダー＝レーゼン成分の数が無限個であるための必要十分条件は、クーヴィーが有限または無限ディンキン型でない場合に限る。
• 無限ディンキン型（A∞, A∞∞, D∞）において、非分解表現の完全リストが提示され、非可約な準同型および準完全列の明示的記述が与えられる。
• 導来圏のアウスランダー＝レーゼンクーヴィーの接続成分 CQ は ZQ^op に埋め込まれ、その形状は経路構造によって決まる：Q に無限経路がない場合 CQ ≅ ZQ^op、右無限経路はあるが左無限経路がない場合 N⁻Δ、左無限経路はあるが右無限経路がない場合右安定部分クーヴィー。
• 導来圏 Db(rep⁺(Q)) が左準完全三角形をもつための必要十分条件は、Q に右無限経路がないことであり、右準完全三角形をもつための必要十分条件は、Q に左無限経路がないことである。
• 導来圏が準完全三角形をもつための必要十分条件は、Q に左・右の両方の無限経路がまったくないこと、すなわち無限経路が存在しないことである。
• rep⁺(Q) のアウスランダー＝レーゼンクーヴィーの正則成分は、導来圏においても連結成分のままであり、その形状は元の成分のシフトとして保存される。