[論文レビュー] Representation Theory of Analytic Holonomy C* Algebras

Abhay Ashtekar, Jerzy Lewandowski|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 1993

Advanced Operator Algebra Research被引用数 115

ひとこと要約

この論文は、量子重力の文脈において、解析的ホロノミー C*-代数の表現理論を開発し、ホロノミー C*-代数を介してゲージ同値な接続とループの同値類の間に双対性を確立する。主な貢献は、代数のスペクトル上に忠実で微分同相変換不変な測度を構成することであり、これにより量子状態のヒルベルト空間が得られ、ねじれやリンク不変量が微分同相変換不変な測度と特定される。

ABSTRACT

Integral calculus on the space of gauge equivalent connections is developed. Loops, knots, links and graphs feature prominently in this description. The framework is well--suited for quantization of diffeomorphism invariant theories of connections. The general setting is provided by the abelian C* algebra of functions on the quotient space of connections generated by Wilson loops (i.e., by the traces of holonomies of connections around closed loops). The representation theory of this algebra leads to an interesting and powerful ``duality'' between gauge--equivalence classes of connections and certain equivalence classes of closed loops. In particular, regular measures on (a suitable completion of) connections/gauges are in 1--1 correspondence with certain functions of loops and diffeomorphism invariant measures correspond to (generalized) knot and link invariants. By carrying out a non--linear extension of the theory of cylindrical measures on topological vector spaces, a faithful, diffeomorphism invariant measure is introduced. This measure can be used to define the Hilbert space of quantum states in theories of connections. The Wilson--loop functionals then serve as the configuration operators in the quantum theory.

研究の動機と目的

• ゲージ同値な接続の空間 $\mathcal{A}/\mathcal{G}$ 上に統合理論を構築し、微分同相変換不変な理論の量子化に用いること。
• ウィルソンループによって生成されるゲージ不変関数の $C^*$-代数を構成し、量子理論における配置観測量としての役割を果たすこと。
• 代数のスペクトル内の一般化された接続と、ホープ群からゲージ群 $G$ への準同型の間の双対性を確立すること。
• 代数のスペクトル上に忠実で微分同相変換不変な測度を定義し、量子状態のヒルベルト空間を可能にすること。
• 微分同相変換不変な測度が一般化されたねじれおよびリンク不変量に対応することを示し、位相と量子重力の間に接続を確立すること。

提案手法

• 区分的解析的ループ上のホロノミー関数のトレース（ウィルソンループ関数）によって生成されるアーベル的 $C^*$-代数を構成する。
• ゲルファンドスペクトル理論を適用し、スペクトル $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ を一般化された接続の空間として特定し、自然に $\mathrm{Hom}(\mathcal{HG}, G)$ に同型であることを示す。
• $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 上の円形関数を、独立したホープの有限集合を用いて $G^n/\mathrm{Ad}$ 上の連続関数の引き戻しとして定義する。
• 円形測度理論の非線形拡張を導入し、スペクトル上に忠実で微分同相変換不変な測度を定義する。
• 得られた $C^*$-代数の表現が忠実であり、測度が基底多様体の微分同相変換に対して不変であることを示す。
• バンドル独立性の証明：$C^*$-代数とそのスペクトルは、多様体 $\Sigma$ 上の主 $G$-バンドルの選択に依存しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元で非線形な空間 $\mathcal{A}/\mathcal{G}$ 上に一貫性のある統合理論をどのように定義できるか？
• RQ2 スペクトル内の一般化された接続と、ホープ群からゲージ群 $G$ への準同型の間の正確な双対性は何か？
• RQ3 ホロノミー $C^*$-代数のスペクトル上に忠実で微分同相変換不変な測度を構成できるか？
• RQ4 スペクトル上の微分同相変換不変な測度は、ねじれやリンク不変量などの位相的不変量とどのように関係するか？
• RQ5 得られた $C^*$-代数とその表現は、基底多様体 $\Sigma$ 上の主 $G$-バンドルの選択に依存しないか？

主な発見

• スペクトル $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ は自然にホープ群 $\mathcal{HG}$ からゲージ群 $G$ への準同型の空間 $\mathrm{Hom}(\mathcal{HG}, G)$ に同型であり、接続とループの間の双対性を確立する。
• $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 上の正則測度は、ループの空間上の特定の関数と一対一に対応する。
• スペクトル上の微分同相変換不変な測度は、正確に一般化されたねじれおよびリンク不変量に対応する。
• 円形測度理論の非線形拡張を用いて、$\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 上に忠実で微分同相変換不変な測度を構成した。
• $\overline{\mathcal{HA}}$ とそのスペクトルは、$\Sigma$ 上の主 $G$-バンドルの選択に依存せず、バンドル独立性が保証される。
• この構成により、量子状態のヒルベルト空間 $L^2(\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}, d\mu)$ が得られ、ウィルソンループが配置演算子として作用する。