[論文レビュー] Representation Theory of Chern Simons Observables

Anton Alekseev, Volker Schomerus|ArXiv.org|Mar 29, 1995

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、チェーン＝シモンズ理論における新しく提案された量子代数、すなわちモジュライ代数のユニタリ表現を分類し、その表現空間をWZW模型のコンフォーマルブロックに対応づける。また、マッピングクラス群がモジュライ代数に内部自己同型として作用することを証明し、その中心拡張の関係を満たす明示的なユニタリ生成子を構成する。

ABSTRACT

Recently we suggested a new quantum algebra, the moduli algebra, which was conjectured to be a quantum algebra of observables of the Hamiltonian Chern Simons theory. This algebra provides the quantization of the algebra of functions on the moduli space of flat connections on a 2-dimensional surface. In this paper we classify unitary representations of this new algebra and identify the corresponding representation spaces with the spaces of conformal blocks of the WZW model. The mapping class group of the surface is proved to act on the moduli algebra by inner automorphisms. The generators of these automorphisms are unitary elements of the moduli algebra. They are constructed explicitly and proved to satisfy the relations of the (unique) central extension of the mapping class group.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン・チェーン＝シモンズ理論における観測量の量子代数として提案されたモジュライ代数のユニタリ表現を分類すること。
• モジュライ代数の表現空間とWZW模型のコンフォーマルブロックとの間の対応関係を確立すること。
• 表面のマッピングクラス群がモジュライ代数に内部自己同型として作用することを示すこと。
• これらの自己同型を生成する明示的なユニタリ生成子を構成し、それがマッピングクラス群の中心拡張の関係を満たすことを検証すること。
• 2次元多様体上の平坦接続のモジュライ空間の量子化の表現論的基盤を提供すること。

提案手法

• 2次元多様体上のチェーン＝シモンズ理論に対して、モジュライ代数を観測量の量子代数として用いる。
• 表現論を用いて、モジュライ代数のすべてのユニタリ表現を分類する。
• 量子群の構造を通じて確立された対応により、表現空間をWZW模型のコンフォーマルブロックと特定する。
• マッピングクラス群の作用を生成する、モジュライ代数内の明示的なユニタリ要素を構成する。
• これらのユニタリ生成子が、マッピングクラス群の唯一の中心拡張の定義関係を満たすことを証明する。
• 特にアフィンリー代数の表現論を用いた、量子代数およびコンフォーマル場理論の技術を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チェーン＝シモンズ理論の文脈において、モジュライ代数のユニタリ表現はどのように分類可能か？
• RQ2 モジュライ代数の表現空間とWZW模型のコンフォーマルブロックとの間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 マッピングクラス群はモジュアイ代数にどのように作用し、その作用が内部自己同型として実現可能か？
• RQ4 マッピングクラス群作用の明示的な生成子は、モジュライ代数内でどのように構成可能か？また、それらは正しい代数的関係を満たすか？
• RQ5 マッピングクラス群の中心拡張は、モジュライ代数内のユニタリ要素によって実現可能か？

主な発見

• モジュライ代数のユニタリ表現は完全に分類され、その表現空間はWZW模型のコンフォーマルブロックと特定される。
• 表面のマッピングクラス群がモジュライ代数に内部自己同型として作用することを示し、トポロジーと量子対称性の間の深い代数的関係を確立する。
• マッピングクラス群作用の明示的なユニタリ生成子がモジュライ代数内に構成される。
• これらのユニタリ生成子は、マッピングクラス群の唯一の中心拡張の関係を満たしており、既知のトポロジカル量子場理論の構造と整合することが確認される。
• モジュライ代数は、2次元多様体上の平坦接続のモジュライ空間の関数の代数的量子化を一貫して提供する。
• 結果として、チェーン＝シモンズ理論、コンフォーマル場理論、および量子群の表現論の間の明確な橋渡しを確立する。