[論文レビュー] Representation theory of logics: a categorial approach

Darllan Conceição Pinto, Hugo Luiz Mariano|arXiv (Cornell University)|May 10, 2014

Advanced Algebra and Logic参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、Bloch-Pigozzi代数的論理に基づくモラータ同値性を用いて、論理のカテゴリーにおける同一性問題を克服する、カテゴリー的表現理論を導入する。古典論理は安定的に左モラータ同値であることが示され、古典論理と直観論理は安定的にモラータ随伴的に関係している。これは、カテゴリー論的不変量を用いた論理の比較のための新しい枠組みを提供する。

ABSTRACT

The major concern in the study of categories of logics is to describe condition for preservation, under the a method of combination of logics, of meta-logical properties. Our complementary approach to this field is study the "global" aspects of categories of logics in the vein of the categories $\Ss, \Ls, \cA_s$ studied in \cite{AFLM3}. All these categories have good properties however the category of logics $\cL$ does not allow a good treatment of the "identity problem" for logics (\cite{Bez}): for instance, the presentations of "classical logics" (e.g., in the signature $\{ eg, \vee\}$ and $\{ eg', ightarrow'\}$) are not $\Ls$-isomorphic. In this work, we sketch a possible way to overcome this "defect" (and anothers) by a mathematical device: a representation theory of logics obtained from category theoretic aspects on (Blok-Pigozzi) algebraizable logics. In this setting we propose the study of (left and right) "Morita equivalence" of logics and variants. We introduce the concepts of logics (left/right)-(stably) -Morita-equivalent and show that the presentations of classical logics are stably Morita equivalent but classical logics and intuitionist logics are not stably-Morita-equivalent: they are only stably-Morita-adjointly related.

研究の動機と目的

• 論理のカテゴリーにおける「同一性問題」に対処すること。具体的には、同一の論理の構造的に異なる表現（例：{¬,∨} と {¬′,→′} における古典論理）が、従来のカテゴリーでは同型でないという問題。
• 代数的論理にカテゴリー論的ツールを適用することで、論理の表現理論を構築すること。これは、環論におけるモラータ同値性にインspiredされている。
• 左および右の安定的モラータ同値性および随伴的関係を有する論理を導入・形式化し、意味的同一性をよりよく捉える新しい同値関係を提供すること。
• 論理の数学的不変量を定義する基盤を提供し、表現図を通じて論理間のファンクター的準同型を可能にすること。
• カテゴリー論理の適用範囲を拡大し、古典論理と直観論理を含む、異なる論理体系間での安定的比較を可能にすること。

提案手法

• 論理の圏 $\mathcal{L}_s$ を、厳密なシグネチャ準同型が帰結関係を保存するようなペア $(\Sigma, \vdash)$ として定義する。
• 左および右の表現図 $left(l)$ と $right(l)$ を導入する。これらは論理のモデルから導かれる圏とファンクターの図式である。
• 射 $f: l \to U$ を通じた商ファンクター $QV(cod(f))$ の余極限図式における、 quasi-inverse 同値を用いて左安定的モラータ同値を構成する。
• リンデンバウム代数化プロセスを用いて、任意の論理に代数的論理を関連させ、カテゴリー同値性の転送を可能にする。
• ヘイティング代数を、合同関係 $a \sim \neg\neg a$ で商することで、$HA$ から $BA$ へのファンクター $L: HA \to BA$ を定義し、直観論理と古典論理の圏の間の随伴関係を確立する。
• 2-圏的構造を用いて右側の表現を形式化し、左側の解析とは概念的および技術的に区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カテゴリー論的原則を用いた論理の表現理論は、論理のカテゴリーにおける同一性問題を解消するために開発可能か？
• RQ2 提案された枠組みのもとで、古典論理の異なる表現（例：{¬,∨} と {¬′,→′}）は安定的にモラータ同値か？
• RQ3 新しいモラータ同値関係において、古典論理と直観論理はどのように関係しているか？
• RQ4 表現図 $left(l)$ と $right(l)$ から、論理間のファンクター的準同型を誘導できるか？
• RQ5 任意の論理の間の差異度を測る一般的な数学的不変量をどのように定義できるか？

主な発見

• 古典論理の {¬,∨} および {¬′,→′} における表現は、新しい枠組みのもとで安定的に左モラータ同値であることが確認され、意味的同一性が裏付けられた。
• 古典論理と直観論理は安定的にモラータ同値ではないが、ファンクター $L: HA \to BA$ がヘイティング代数を合同関係 $a \sim \neg\neg a$ で商することで、安定的にモラータ随伴的に関係している。
• $\mathcal{L}_s$ 圏は同一性問題を処理できない。なぜなら、古典論理の異なる表現は $\mathcal{L}_s$-同型ではないが、新しいモラータ同値性がこれを解消する。
• 左安定的モラータ同値は、標準的モラータ同値よりも厳密に強い。これは、$l \cong l' \Rightarrow$ 左安定的モラータ同値という含意によって示される。
• 表現図 $left(l)$ と $right(l)$ は、右側の処理に必要な2-圏的構造を誘導し、左側の解析とは区別される。
• $l$ と密な準同型 $f: l \to a'$ から、$a = (\alpha, h^\star(\vdash_{a'}))$ を構成する。これはリンデンバウム代数化可能な論理をもたらし、代数的構造を保存し、商圏における弱同値を可能にする。