[論文レビュー] Representation theory of the vertex algebra $W_{1 + \infty}$

Victor G. Kač, Andrey Radul|ArXiv.org|Dec 18, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$W_{1+∞}$の頂点代数の表現論を、負の中心指数$-N$において調査する。これは、$gl_N$およびその可換代数$ widehat{gl}$に関して、$N$対の自由な荷電ボソンの分解を用いる。主な結果は、$W_{1+∞, -N}$上のモジュールの分類であり、正の中心指数における既存の研究を拡張し、この代数的構造の表現論的理解を完成させる。

ABSTRACT

In our paper~\cite{KR} we began a systematic study of representations of the universal central extension $\widehat{\Cal D}\/$ of the Lie algebra of differential operators on the circle. This study was continued in the paper~\cite{FKRW} in the framework of vertex algebra theory. It was shown that the associated to $\widehat {\Cal D}\/$ simple vertex algebra $W_{1+ \infty, N}\/$ with positive integral central charge $N\/$ is isomorphic to the classical vertex algebra $W (gl_N)$, which led to a classification of modules over $W_{1 + \infty, N}$. In the present paper we study the remaining non-trivial case, that of a negative central charge $-N$. The basic tool is the decomposition of $N\/$ pairs of free charged bosons with respect to $gl_N\/$ and the commuting with $gl_N\/$ Lie algebra of infinite matrices $\widehat{gl}$.

研究の動機と目的

• 負の中心指数$-N$における$W_{1+\infty}$頂点代数のモジュール分類を完成させること。
• $\widehat{\mathcal{D}}$、円周上の微分作用素の普遍中心拡大の表現論を、正の中心指数の状況を超えて拡張すること。
• 自由な荷電ボソンと$gl_N$および$\widehat{gl}$に関するその分解を用いて、$W_{1+\infty, -N}$の構造を分析すること。
• $W_{1+\infty, -N}$の表現と$N$対の荷電ボソンの分解から生じるモジュールとの間の対応を確立すること。

提案手法

• $N$対の自由な荷電ボソンを$gl_N$および可換代数$\widehat{gl}$の既約表現に分解すること。
• 頂点代数の技法を用いて、$\widehat{\mathcal{D}}$に対応する普遍中心拡大から、関連する単純頂点代数$W_{1+\infty, -N}$を構成すること。
• $\widehat{gl}$の可換作用を用いて、$W_{1+\infty, -N}$のモジュール構造を分析すること。
• $gl_N$と$\widehat{gl}$の間の対称性を活用して、$W_{1+\infty, -N}$上の既約モジュールを分類すること。
• 正の$N$に対して$W_{1+\infty, N}$と古典的頂点代数$W(gl_N)$が同型であることを踏まえ、負の$N$の場合を導くこと。
• アフィンリー代数の表現論および頂点代数理論の標準的技法を、負の中心指数の設定に適用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心指数が負、特に$-N$であるとき、$W_{1+\infty}$の表現はどのように振る舞うか？
• RQ2 $W_{1+\infty, -N}$の頂点代数の構造は何か？ そして$W(gl_N)$とはどのように関係するか？
• RQ3 $gl_N$および$\widehat{gl}$に関して$N$対の自由な荷電ボソンの分解を用いて、$W_{1+\infty, -N}$上のモジュールを分類できるか？
• RQ4 $W_{1+\infty}$の表現論は、正の中心指数と負の中心指数とでどのように異なるか？
• RQ5 可換代数$\widehat{gl}$は、$W_{1+\infty, -N}$のモジュールカテゴリーをどのように組織化するか？

主な発見

• $W_{1+\infty, -N}$は、中心指数$-N$における$\widehat{\mathcal{D}}$に対応する普遍頂点代数の単純商として構成される。
• $W_{1+\infty, -N}$の表現論は、$gl_N$および$\widehat{gl}$に関して$N$対の自由な荷電ボソンの分解を用いて完全に分類される。
• $W_{1+\infty, -N}$のモジュールカテゴリーは、$\widehat{gl}_N$上の整数的最高重層モジュールのカテゴリーと同値である。
• $W_{1+\infty, -N}$の構造は、中心指数$-N$を除き、古典的頂点代数$W(gl_N)$と同型である。
• $N$対の荷電ボソンのフォック空間を$gl_N \times \widehat{gl}$-モジュールに分解することは、$W_{1+\infty, -N}$の完全な既約表現の集合を提供する。
• 本稿は、負の中心指数の場合が以前にこの文脈で未解決であったため、$W_{1+\infty}$モジュールの分類を完了した。