[論文レビュー] Representation zeta functions of split extensions of $SL_2^m(O)$

J. Moritz Petschick, Margherita Piccolo|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2026

Advanced Algebra and Geometry被引用数 0

ひとこと要約

著者らは、SL_2^m(O) の分割拡張の表現 zeta 関数の積の分解を証明し、いくつかの無限族について明示的形式を計算して、表現成長が無限大に発散することを示している。

ABSTRACT

We consider the representation growth of split extensions of $SL_2^m(O)$. We prove that the corresponding representation zeta functions factor as a product of the representation zeta function of $SL_2^m(O)$ and the relative representation zeta function associated to the extension. We make use of our result by computing the zeta functions for two infinite families of split extensions of $SL_2^m(O)$ explicitly. Along the way, we compute the representation zeta functions of a large class of subgroups of $SL_2^m(O)$.

研究の動機と目的

• p-アディック解析設定で分割拡張のSL_2^m(O) の表現成長を動機づけ・分析する。
• 半直和積の zeta 関数を基底と相対 zeta 関数の積として結ぶ積公式を確立する。
• 二つの無限族の分割拡張と広範なサブグループの明示的な表現 zeta 関数を計算する。
• 開集合な potent なサブグループ間のスペクトル現象（定数で近似される zeta 関数の類似性）を調べる。
• 収束裏配の位相の無限大性（多項式成長）を持つ族の存在を示す。

提案手法

• G = H ⋉ V で V がアベリアンなとき、 Mackey 理論を用いて不可約表現を記述する。
• p-アディック積分と Kirillov 軌道法を適用し、相対 zeta 関数を交換行列の Pfaffian 次元の小行列式の積分として表す。
• ζ_G(s) を ζ_H(s) と相対 zeta 関数 ζ^G_H(s−1) の積として related に関連づける（ ζ_G(s) = ζ_H(s) · ζ^G_H(s−1) ）.
• 表現を制御するために一様に potent な pro-p 群、Lazard 対응、飽和可能な Lie 格子を扱う。
• 相関する定理・命題を用いて ty spectral サブグループを特定し、弱い Lie 格子同型を利用する。
• p-アディック積分の枠組み（定理 2.5 および命題 2.6）を用いて、特定の分割拡張の ζ の明示的閉形式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分割拡張 G = H ⋉ O^n の表現 zeta 関数は H の表現 zeta 関数と相対 zeta 関数の積として分解されるのか。
• RQ2 SL_2^m(O) のどの分割拡張について明示的な表現 zeta 関数を計算でき、収束の位相はどうなるのか。
• RQ3 SL_2^m(O) の開集合 potent サブグループは周囲の群に対して ty spectral（zeta 関数が定数倍で異なる）相対的なものか。
• RQ4 p-アディック解析群の族を無限大の多項式表現成長を持つように構成できるか。
• RQ5 サブグループにおいて general に成り立たない構造現象（例: ty spectral 性）は何か、具体的な反例はどのように現れるか。

主な発見

• ζ_G(s) は分割拡張に対して ζ_H(s) · ζ^G_H(s−1) に分解される（仮定の下で）。
• SL_2^m(O) の二つの無限族の分割拡張について明示的 ζ 関数を計算。
• SL_2^m(O) の表現 zeta 関数が計算可能なサブグループの大きいクラスを同定。
• 多くの開 potent サブグループは ty spectral であることを示すが、すべてではなく、明示的反例を提供（定理 1.4）。
• 考慮した族には収束の位相の無限大性を示し、成長は n に対して任意に大きくなりうる。
• 相対 zeta 関数を得るために p-アディック積分技術（Pfaffian 小行列、交換子行列）を開発・適用した（定理 2.5；命題 2.6）。