[論文レビュー] Representations and characters of the Virasoro algebra and N=1 super-Virasoro algebras

V. K. Dobrev|ArXiv.org|Sep 2, 2007

Porphyrin and Phthalocyanine Chemistry参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、バーラソ・代数およびN=1スーパーバーラソ代数（ネヴェウ＝シュワーツ型およびラムンド型）の非可約一般化最高重層モジュールを分類し、すべてのモジュールの特性式を導出し、ユニタリなものを同定する。一般化されたヴェルマモジュールを最高重層ベクトルから誘導し、差分関係およびカック行列式技術を用いて特性式を導出し、中心的荷重 $ c $ および自己共形次元 $ h $ で表したユニタリ表現の明示的表現を得る。

ABSTRACT

We present the list of irreducible (generalized) highest weight modules over the Virasoro algebra and N=1 super-Virasoro algebras obtained as factor-modules of (generalized) Verma modules. We present also the character formulae of all these modules and single out the unitary irreducible ones. Most formulas are valid for the three algebras under consideration, the different cases being distinguished by two parameters. This is a slightly extended version of an Encyclopedia entry.

研究の動機と目的

• バーラソおよびN=1スーパーバーラソ代数上のすべての非可約一般化最高重層モジュールを分類すること。
• 一般化されたヴェルマモジュール誘導を用いて、すべてのモジュールの特性式を導出すること。
• 分類の中で非可約ユニタリ表現を同定すること。
• 3つの代数（バーラソ、ネヴェウ＝シュワーツ、ラムンド）の特性式を2つのパラメータを用いて統一すること。

提案手法

• 一般化されたヴェルマモジュール $ V^{h,c} $ を、$ \tilde{v}_0 $ から誘導された表現として構成する。バーラソおよびネヴェウ＝シュワーツでは $ \tilde{v}_0 $ は1次元、ラムンドでは $ J_0 $ のため2次元である。
• 普遍包あらゆる代数 $ U({\rm Q}_\bullet) $ の基底要素を、$ L_0 $-固有値による同次的次数で定義し、レベルを $ -\text{固有値} $ とする。
• カック行列式技術を用いて特異ベクトルを同定し、非可約商 $ L^{h,c} = V^{h,c}/I^{h,c} $ を構成する。
• 差分関係を用いて特性式を導出する：$ N^1_\bullet $ の場合、$ ch\text{ }L^{h,c} = ch\text{ }V^{h,c} - ch\text{ }V^{h+\nu mn,c} $。
• 再帰的特性式を $ N^{21}_\bullet $, $ N^{22}_\bullet $, $ N^{23}_\bullet $ の場合に用い、ヴェルマモジュール特性式の和および差を含む。
• 明示的な $ h $ および $ c $ の式を用いてユニタリティ条件を決定する：$ h = \frac{1}{4\nu p(p+\nu)}[\nu^2(pn - m(p+\nu))^2 - \nu^2] + \frac{1}{8}\mu $, $ c = 1 - \frac{2(2+\nu)}{p(p+\nu)} $、およびラムンド代数の特別な場合。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バーラソおよびN=1スーパーバーラソ代数上の一般化最高重層モジュールのうち、非可約なものはどれか？
• RQ2 これらの代数上のすべての非可約モジュールの特性式は何か？
• RQ3 これらの非可約モジュールのうち、ユニタリなものはどれであり、$ h $ および $ c $ に対する条件は何か？
• RQ4 ネヴェウ＝シュワーツ、ラムンド、バーラソ代数の間で特性式はどのように異なるか？
• RQ5 $ J_0 $ 生成子は、ラムンド代数の一般化最高重層モジュールを定義する際に果たす役割は何か？

主な発見

• $ N^1_\bullet $ の場合、非可約モジュール $ L^{h,c} $ の特性は $ ch\text{ }L^{h,c} = (1 - t^{\nu mn}) olinebreak[4] ch\text{ }V^{h,c} $ で与えられる。
• $ N^{21}_\bullet $ の場合、$ L^0_{0k} $ の特性は $ k > 0 $ に対して $ ch\text{ }V^0_{0k} - ch\text{ }V^0_{1k} $ である。
• $ N^{22}_\bullet $ の場合、$ L^\epsilon_k $ の特性は $ k \geq 0 $ に対して $ ch\text{ }V^\epsilon_k - ch\text{ }V^\epsilon_{k+1} $ である。
• ユニタリ表現は $ h \geq 0 $、$ c \geq 1 $、または $ p $ および $ \nu $ に依存する特定の有理数値の $ h $ および $ c $ によって特徴づけられる。$ p=4 $ のときバーラソでは $ c = 7/10 $、$ p=3 $ のときスーパーバーラソでは $ c = 7/15 $ である。
• バーラソとスーパーバーラソ代数の間で唯一共通する中心的荷重は $ c = 7/10 $ であり、これは $ c_{\text{super}} = 7/15 $ に対応し、$ c_{\text{Vir}} = \frac{3}{2}c_{\text{super}} $ である。
• ラムンド代数において、ユニタリモジュール $ L^{0}_{00} \equiv L^{0}_{10} $ はカック表の境界上に位置し、$ h = \frac{1}{16}c^{-}_{p,p+1} = \frac{1}{16}\left(1 - \frac{2}{p(p+1)}\right) $ である。