[論文レビュー] Representations attached to vector bundles on curves over finite and p-adic fields, a comparison

Christopher Deninger|ArXiv.org|Mar 17, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、p進体上の曲線のベクトル束に付随するガロア表現と、その特異特異ファイバーの基本群との間の明確な関係を確立する。p進ガロア表現の mod 𝔪 近似が、特異ファイバーの基本群を通じて因数分解されることを示し、Noriの基本群スケームを用いて、得られる mod 𝔪 表現を本質的に有限なものとして分類する。

ABSTRACT

For a vector bundle E on a model of a smooth projective curve over a p-adic number field a p-adic representation of the geometric fundamental group of X has been defined in work with Annette Werner if the reduction of E is strongly semistable of degree zero. In the present note we calculate the reduction of this representation using the theory of Nori's fundamental group scheme.

研究の動機と目的

• p進体上の曲線のベクトル束に付随するガロア表現の mod 𝔪 近似を理解すること。
• p進表現と有限体上での特異ファイバーの基本群との関係を明確にすること。
• 強半安定還元をもつベクトル束に付随する表現の mod 𝔪 近似が、還元された特異ファイバーの基本群を通じて因数分解されることを示すこと。
• Noriの基本群スケーム理論を応用し、得られる mod 𝔪 表現を本質的に有限なものとして分類すること。

提案手法

• 曲線 X の 𝔬 上のモデル 𝔛 を用意し、X_{ℂ_p} 上のバンドル E を拡張する 𝔛ₒ 上のベクトルバンドル ℰ をとる。
• ℰ が特異ファイバー 𝔛_k 上で次数 0 の強半安定還元をもつ条件を課す。
• DW2 の理論を適用し、E_x 内の格子 ℰ_{xₒ} 上に連続な p進ガロア表現 ρ_{ℰ,xₒ} を構成する。
• この表現を 𝔪 で割って、GL(ℰ_{x_k}) に値をとる表現 ρ_{ℰ,xₒ} ⊗ k を得る。
• Nori の基本群スケーム π(Z,z) を用いて、特異ファイバー Z = 𝔛^red_k 上の本質的に有限なベクトルバンドルを分類する。
• Tannakian双対性と、有限エタール被覆による引き戻しの整合性を用いて、π₁(X,x) と π₁(𝔛^red_k, x_k) を含む図式の可換性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進体 ℂ_p 上の曲線のベクトル束に付随する p進ガロア表現の mod 𝔪 近似は、𝔽_p 上の特異ファイバーの基本群とどのように関係するか？
• RQ2 このような表現の mod 𝔪 近似が、特異ファイバーの基本群を通じて因数分解されるのはどのような条件下か？
• RQ3 Nori の基本群スケームを用いて、これらの表現の mod 𝔪 近似を分類できるか？
• RQ4 表現 ρ_{ℰ,xₒ} の mod 𝔪 近似は本質的に有限か？ もしそうなら、特異ファイバーの幾何とどのように関係するか？
• RQ5 表現 ρ_{ℰ,xₒ} 自身が特異化写像 π₁(X,x) → π₁(𝔛^red_k, x_k) を通じて因数分解されるか、それともその mod 𝔪 近似でのみそうなるか？

主な発見

• p進ガロア表現 ρ_{ℰ,xₒ} の mod 𝔪 近似は、特異化写像 π₁(X,x) → π₁(𝔛^red_k, x_k) を通じて因数分解される。
• 還元された表現 ρ_{ℰ,xₒ} ⊗ k は、ℰ が特異ファイバー 𝔛^red_k に制限されたもの ℰ^red_k に対して、Nori の基本群スケームを介して得られる表現と同型である。
• 𝔛^red_k 上のバンドル ℰ^red_k は本質的に有限であり、有限群スキームの torsor から生じる。
• 有限エタール被覆がバンドルを自明化するという整合性を用いて、π₁(X,x)、π₁(𝔛^red_k, x_k)、GL(ℰ_{x_k}) を含む図式の可換性が確立される。
• この結果は、ℰ が特異ファイバーで次数 0 の強半安定還元をもつという仮定のもとで成り立つ。
• 例により、ρ_{ℰ,xₒ} 自身は π₁(𝔛^red_k, x_k) を通じて因数分解しないが、その mod 𝔪 近似はそうなることが示され、還元の必要性が強調される。