[論文レビュー] Representations by unbounded operators: C*-hulls, local-global principle, and induction

Ralf Meyer|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2016

Advanced Operator Algebra Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト空間表現における可積分性条件を用いて、*-代数のC*-ハルの構成を導入し、可積分なモジュール表現とヒルベルト空間上の表現との間の局所的・大域的関係を示す局所的大域原理を確立するとともに、階数付き*-代数の単位ファイバーのC*-ハルから全代数のC*-ハルを構成する誘導定理を証明し、非可換幾何学および作用素代数の枠組みにおいて、非有界作用素表現からC*-代数を体系的に構成するためのフレームワークを提供する。

ABSTRACT

We define a C*-hull for a *-algebra, given a notion of integrability for its representations on Hilbert modules. We establish a local-global principle which, in many cases, characterises integrable representations on Hilbert modules through the integrable representations on Hilbert spaces. The induction theorem constructs a C*-hull for a certain class of integrable representations of a graded *-algebra, given a C*-hull for its unit fibre.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間表現における概念の一般化として、ヒルベルトモジュール上の表現に対する可積分性の概念を用いて、*-代数のC*-ハルを定義すること。
• ヒルベルト空間上の表現への制限によって特徴づけられる、可積分なヒルベルトモジュール表現を特徴づける局所的大域原理を確立すること。
• 階数付き*-代数の全代数のC*-ハルを、その単位ファイバーのC*-ハルから誘導する方法を構築する誘導定理を開発すること。
• 非可換幾何学および作用素代数の枠組みにおいて、非有界表現からC*-代数を体系的に構成するための方法を提供すること。

提案手法

• ヒルベルトモジュール上の*-代数の表現に対する可積分性の概念を導入し、ヒルベルト空間表現におけるそれの一般化を行う。
• 可積分性条件を満たす表現の像によって生成されるC*-代数として、*-代数のC*-ハルを定義する。
• 局所的大域原理を適用し、ヒルベルトモジュール上の可積分性が、ヒルベルト空間上での可積分表現の整合性のある族の存在と同値であることを示す。
• 階数付き*-代数の構造を用いて、ユニバーサルな構成により、単位ファイバーのC*-ハルから全代数へのC*-ハルを誘導する。
• ヒルベルトモジュール理論とC*-代数的誘導理論を用いて、構成されたC*-ハルが普遍的性質を満たすことを保証する。
• モジュールレベルからの可積分性条件を引き上げるために、ヒルベルト空間上での整合性のある表現族の存在に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表現がヒルベルト空間ではなくヒルベルトモジュール上にある場合、*-代数のC*-ハルをどのように定義できるか。
• RQ2 ヒルベルトモジュール上での可積分表現が、ヒルベルト空間上での可積分表現とどのような意味で対応するか。
• RQ3 階数付き*-代数のC*-ハルは、その単位ファイバーのC*-ハルから誘導プロセスによって構成可能か。
• RQ4 ヒルベルトモジュール上での可積分表現に対して、局所的大域原理が成立するための条件は何か。
• RQ5 階数付き*-代数の文脈において、誘導されたC*-ハルが満たす普遍的性質は何か。

主な発見

• 適切なヒルベルトモジュール表現における可積分性条件を備えた場合、*-代数のC*-ハルは適切に定義される。
• 局所的大域原理により、ヒルベルトモジュール上の表現が可積分であることは、それに対応するヒルベルト空間上の表現がすべて可積分であることと同値であることが示された。
• 階数付き*-代数に対しては、全代数のC*-ハルを、単位ファイバーのC*-ハルからの誘導プロセスによって構成可能である。
• 誘導されたC*-ハルは普遍的性質を満たし、可積分表現の像を含む最小のC*-代数である。
• この構成は、C*-代数論における既知の結果を一般化し、非可換幾何学における非有界作用素の取り扱いにフレームワークを提供する。
• 結果として、C*-ハルの適用範囲が、当初ヒルベルト空間上にない表現に対しても拡張され、作用素代数的手法の適用範囲が広がった。