[論文レビュー] Representations of A-type Hecke algebras

A. P. Isaev, O. Ogievetsky|ArXiv.org|Dec 18, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ジュシス＝マーフィー要素を用いて、A型ヘケ代数における原始的正規直交イデempotentの明示的構成を提示し、対称群の手法を一般化する。不変量の再帰的関係（q次元）を導出し、量子整数およびフック長さを用いた閉形式のq次元の公式を、量子線形群およびR行列表現に対して得る。

ABSTRACT

We review some facts about the representation theory of the Hecke algebra. We adapt for the Hecke algebra case the approach of Okounkov and Vershik which was developed for the representation theory of symmetric groups. We justify an explicit construction of the idempotents in the Hecke algebra in terms of Jucys-Murphy elements. Ocneanu's traces for these idempotents (which can be interpreted as q-dimensions of corresponding irreducible representations of quantum linear groups) are presented.

研究の動機と目的

• 対称群の表現の手法をジュシス＝マーフィー要素を用いてA型ヘケ代数に拡張すること。
• ヘケ代数 $H_{M+1}(q)$ における原始的正規直交イデムポテンス $e_\alpha$ を、ジュシス＝マーフィー要素の共同固有射影子として構成すること。
• これらのイデムポテンスのオクネアヌ・トレース（q次元と解釈される）を再帰的および閉形式の式で計算すること。
• 量子キャラクター関数がテーブルオ選択に依存しない、ヤング図の形状にのみ依存することを確立すること。
• この構成を、量子群 $GL_q(N|M)$ のR行列表現およびドリンフェルド＝ジンボの $R$-行列と関連付けること。

提案手法

• ブレード生成子 $\sigma_i$ とヘケ関係式 $\sigma_i^2 = 1 + (q - q^{-1})\sigma_i$ を用いて、再帰的に定義されるジュシス＝マーフィー要素 $y_i$ を用いる。
• 可換な $y_i$ の共同固有射影子として、イデムポテンス $e_\alpha$ を構成し、固有値 $a_i^{(\alpha)}$ がスペクトル $\Lambda(e_\alpha)$ を形成する。
• 分岐則と $H_i$ から $H_{i+1}$ へのイデムポテンスの上昇を分析するために、相互作用作用素 $U_{n+1} = \sigma_n y_n - y_n \sigma_n$ を用いる。
• 演算子 $P_j$ を用いて、$y_{|\lambda|+1}$ の固有値への射影を行い、オクネアヌ・トレースの再帰的関係を導出。これにより、量子整数を含むトレースの公式が得られる。
• トレースを適用してq次元の再帰的関係を導出：$\text{qdim}(\lambda^{(j)}) = \text{qdim}(\lambda) \cdot q^{-d} [\lambda_{(j)} - n_{j-1} + d]_q \cdot \frac{\prod_{n,m \in \lambda} [h_{n,m}]_q}{\prod_{n,m \in \lambda^{(j)}} [h_{n,m}]_q}$。
• 再帰的関係を解いて、閉形式のq次元の公式を導出：$\text{qdim}(\lambda) = q^{-d|\lambda|} \prod_{n,m \in \lambda} \frac{[d + m - n]_q}{[h_{n,m}]_q}$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A型ヘケ代数における原始的イデムポテンスは、ジュシス＝マーフィー要素を用いてどのように明示的に構成できるか？
• RQ2 ヘケ代数の既約表現におけるオクネアヌ・トレース（q次元）の構造は何か？
• RQ3 q次元はヤング図と量子パラメータ $q$ にどのように依存するか？
• RQ4 テーブルオに依存しない、ヤング図 $\lambda$ のみに依存する量子キャラクター関数 $\chi_\lambda(T)$ を示せるか？
• RQ5 $GL_q(N|M)$ の表現におけるq次元の公式におけるパrameter $d = N - M$ の役割は何か？

主な発見

• 本稿では、ヘケ代数 $H_{M+1}(q)$ における原始的正規直交イデムポテンスを、ジュシス＝マーフィー要素 $y_i$ の共同固有射影子として構成し、固有値がスペクトル $\Lambda(e_\alpha) = (a_1^{(\alpha)}, \dots, a_{M+1}^{(\alpha)})$ を形成する。
• イデムポテンス $e_\alpha$ のオクネアヌ・トレースは、$y_{|\lambda|+1}$ の固有値 $\mu_j = q^{2(\lambda_{(j)} - n_{j-1})}$ を含む再帰的関係を経て計算され、量子整数およびフック長さの積を含むトレースの公式が得られる。
• q次元の再帰的関係は、閉形式の式 $\text{qdim}(\lambda) = q^{-d|\lambda|} \prod_{n,m \in \lambda} \frac{[d + m - n]_q}{[h_{n,m}]_q}$ に解かれる。これは正規化を除き、既知の結果と一致する。
• $H_{M+1}(q)$ の $GL_q(N|M)$ に関連するR行列表現に対して、パrameter $d$ は $N - M$ として特定され、トレースの公式におけるパラメータ化が正当化される。
• 量子キャラクター $\chi_\lambda(T)$ は、テーブルオ $[\nu]_{|\lambda|}$ に依存せず、ヤング図 $\lambda$ の形状にのみ依存することが、同じ形状の異なるテーブルオに対してトレースの不変性によって示された。
• 古典的極限 $q \to 1$ では、$\lambda$ でラベル付けされた表現における $GL(N)$ の標準的キャラクターが回復され、古典理論と整合性が確認された。