[論文レビュー] Representations of braid groups

Stephen Bigelow|ArXiv.org|Apr 15, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、ブラunschweigペアリングを用いて、ブラウン群 $B_n$ の Lawrence-Krammer 表現のホモロジー的構成を提示し、その忠実性を証明する。このペアリングを応用して、大きな $n$ に対して Burau 表現が忠実でないことを示し、ジョーンズ多項式をホモロジー的に定義するとともに、根の単位根におけるヘッケ代数表現を研究するための位相的道具を提案する。

ABSTRACT

In this paper we survey some work on representations of $B_n$ given by the induced action on a homology module of some space. One of these, called the Lawrence-Krammer representation, recently came to prominence when it was shown to be faithful for all $n$. We will outline the methods used, applying them to a closely related representation for which the proof is slightly easier. The main tool is the Blanchfield pairing, a sesquilinear pairing between elements of relative homology. We discuss two other applications of the Blanchfield pairing, namely a proof that the Burau representation is not faithful for large $n$, and a homological definition of the Jones polynomial. Finally, we discuss possible applications to the representation theory of the Hecke algebra, and ultimately of the symmetric group over fields of non-zero characteristic.

研究の動機と目的

• ホモロジー的メソッドとブラunschweigペアリングを用いて、$B_n$ の Lawrence-Krammer 表現の忠実性を確立すること。
• 同一のペアリング技法を用いて、大きな $n$ に対して Burau 表現が忠実でないことを示すこと。
• 被覆空間内の交差ペアリングを通じて、ジョーンズ多項式のホモロジー的定義を提供すること。
• 非一般的 $q$、特に単位根におけるヘッケ代数の Specht モジュールおよび $D^\lambda$-モジュールの位相的構成を調査すること。
• Lawrence のホモロジー的 Specht モジュール上のブラunschweigペアリングが、Dipper と James の代数的ペアリングと一致するかどうかを調査し、正の特性における表現論のための新たな位相的道具の可能性を検討すること。

提案手法

• 穴あきディスク $D_n$ 内の無順序ペアの配置空間 $C$ の被覆空間 $\tilde{C}$ を構成し、モノドロミーを変数 $q$ と $t$ で符号化する。
• ブラウン群 $B_n$ が $H_2(\tilde{C}, \tilde{P})$ に誘導する作用として Lawrence-Krammer 表現を定義する。ここで $\tilde{P}$ は穴または境界に近接する状態を符号化する部分空間である。
• 代数的交差数とねじれ和を用いて定義される、$\mathbb{Z}[q^{\pm1}, t^{\pm1}]$ への写像 $\langle \cdot, \cdot \rangle: H_2(\tilde{C}, \tilde{P}) \times H_2(\tilde{C}, \tilde{B}) \to \mathbb{Z}[q^{\pm1}, t^{\pm1}]$ であるブラunschweigペアリングを用いる。
• ブラウン群作用に関してペアリングの不変性と、$q \mapsto q^{-1}, t \mapsto t^{-1}$ における対合に関して半双線形性を証明し、忠実性の証明を可能にする。
• ペアリングにおいて $t = -q^{-1}$ を代入することで、$\sigma \in B_{2n}$ のプレート閉包のジョーンズ多項式が得られ、正規化を除いて一致する。
• ホモロジー上のブラunschweigペアリングを用いて、共役を介して Lawrence の Specht モジュール上に双線形ペアリングを定義し、非一般的 $q$ における Dipper-James ペアリングと一致させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lawrence-Krammer 表現は $B_n$ に対して忠実であり、ブラunschweigペアリングを用いて証明可能か？
• RQ2 ブラunschweigペアリングは、大きな $n$ に対して Burau 表現の忠実性を妨げる位相的障害を提供するか？
• RQ3 配置空間の被覆空間内の交差ペアリングを通じて、結び目のジョーンズ多項式をホモロジー的に定義可能か？
• RQ4 Lawrence のホモロジー的 Specht モジュール上のブラunschweigペアリングは、Dipper と James の代数的ペアリングと一致する双線形ペアリングを導出可能か？
• RQ5 $q$ が単位根のとき、ホモロジーモジュール上のブラunschweigペアリングの振る舞いはいかなるものか？また、正の特性における $D^\lambda$-モジュールの研究に新たな道具を提供できるか？

主な発見

• ブラunschweigペアリングの不変性と非退化性を用いて、$B_n$ の Lawrence-Krammer 表現が忠実であることが証明された。
• 関連するホモロジー的設定におけるブラunschweigペアリングの非退化性を用いて、大きな $n$ に対して Burau 表現が忠実でないことが示された。
• ブラウン群 $\sigma \in B_{2n}$ のプレート閉包のジョーンズ多項式は、正規化を除いて $\langle \sigma(e), f \rangle|_{t = -q^{-1}}$ として与えられ、$e$ と $f$ は配置空間へのトーラス写像によって定義される。
• ホモロジー群 $H_k(\tilde{C}, \tilde{B})$ 上のブラunschweigペアリングは、$\langle u, v \rangle' = \langle u, \tilde{\rho}(v) \rangle$ として Lawrence の Specht モジュール上に双線形ペアリングを誘導し、一般の $q$ に対して正規化を除いて Dipper-James ペアリングと一致する。
• この位相的ペアリングが非一般的 $q$ にまで拡張可能である証拠があり、ヘッケ代数の根の単位根における $D^\lambda$-モジュールの新たなホモロジー的構成の可能性を示唆している。
• 本構成によりジョーンズ多項式の位相的実現が得られ、ブラウン群表現、結び目不変量、対称群のモジュラー表現論の間の深い関係が示唆された。