[論文レビュー] Representations of cross product algebras of Podles quantum spheres

Konrad Schmuedgen, Elmar Wagner|ArXiv.org|May 22, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、交叉積*-代数 $\mathcal{O}(\mathrm{S}^2_{qr}) \rtimes \mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$ の無限可解な *-表現を分類し、それらが射影ホップモジュール $M_j$ から生じる表現 $\pi_j$ とユニタリ同値であることを示している。$\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$ がこれらのモジュールの直交直和に分解されることを確立し、明示的な射影とチャーン数を計算しており、ヒルベルト空間作用を用いた2つの同等の表現構成法を提示している。

ABSTRACT

Hilbert space representations of the cross product *-algebras of the Hopf *-algebra U_q(su_2) and its module *-algebras O(S^2_{qr}) of Podles spheres are investigated and classified by describing the action of generators. The representations are analyzed within two approaches. It is shown that the Hopf *-algebra O(SU_q(2)) of the quantum group SU_q(2) decomposes into an orthogonal sum of projective Hopf modules corresponding to irreducible integrable *-representations of the cross product algebras and that each irreducible integrable *-representation appears with multiplicity one. The projections of these projective modules are computed. The decompositions of tensor products of irreducible integrable *-representations with spin l representations of U_q(su_2) are given. The invariant state h on O(S^2_{qr}) is studied in detail. By passing to function algebras over the quantum spheres S^2_{qr}, we give chart descriptions of quantum line bundles and describe the representations from the first approach by means of the second approach.

研究の動機と目的

• 交叉積*-代数 $\mathcal{O}(\mathrm{S}^2_{qr}) \rtimes \mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$ のすべての無限可解な *-表現を分類すること。
• ホップ *-代数 $\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$ が、それぞれ無限可解な *-表現 $\pi_j$ に対応する射影ホップモジュール $M_j$ の直交直和に分解されることを示すこと。
• モジュール $M_j$ への射影を明示的に計算し、それらのチャーン数を特定すること。
• 2つの表現構成法の間の対応関係を確立すること：1つはモジュールの分解によるもので、もう1つは関数代数の量子ラインバンドルへの作用によるものである。

提案手法

• スケワプリミティブな元 $X_r \in \mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$ を用いて、$X_r$-不変な元からなる部分代数として量子球面 $\mathrm{S}^2_{qr}$ を定義する。
• ミュラーとシュナイダーの忠実平坦性および群的生成子に関する結果を活用し、$\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$ を射影ホップモジュール $M_j$ の直交直和に分解する。
• スピン $l$ の $\mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$ 表現の重みベクトルの正規直交基底への生成子の作用を記述することで、交叉積代数のヒルベルト空間表現 $\pi_j$ を構成する。
• 2番目のアプローチとして、$L^2(\mathrm{S}^2_{qr})^{2|j|+1}P_j$ 上の有界作用素による表現を実現し、標準形を用いて $\mathcal{O}(\mathrm{S}^2_{qr})$ からの表現の拡張を行う。
• 稠密な定義域上で作用が整合することを確認し、随伴関係を検証することで、2つの表現アプローチがユニタリ同値であることを証明する。
• $j=0$ の場合にハイゼンベルク表現を用いて既知の公式を回復し、以前の構成と整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交叉積代数 $\mathcal{O}(\mathrm{S}^2_{qr}) \rtimes \mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$ の無限可解な *-表現をどのように分類できるか？
• RQ2 ホップ *-代数 $\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$ は、これらの表現に対応する直交射影モジュールにどのように分解されるか？
• RQ3 ヒルベルト空間表現における正規直交基底への生成子の作用の明示的公式は何か？
• RQ4 モジュール分解による表現構成と関数代数作用による表現構成という2つの異なるアプローチは、どのように関係しているか？
• RQ5 各モジュール $M_j$ への射影のチャーン数は何か？ そしてそれはどのように計算されるか？

主な発見

• ホップ *-代数 $\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$ は、それぞれ交叉積代数の無限可解な *-表現 $\pi_j$ に対応する射影ホップモジュール $M_j$ の直交直和に分解される。
• 各無限可解な *-表現 $\pi_j$ は、$\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$ の分解において重複度1で現れる。
• モジュール $M_j$ への射影は明示的に計算されており、それらのチャーン数が特定されている。
• 無限可解な *-表現 $\pi_j$ と $\mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$ のスピン $l$ 表現 $T_l$ のテンソル積は、明示的な重複度公式を用いて、表現 $\pi_k$ の直和に分解される。
• $j=0$ の場合、表現 $\pi_0$ はハイゼンベルク表現であり、$\mathcal{O}(\mathrm{S}^2_{qr}) \subset \mathcal{F}_{\mathrm{b}}(\mathrm{S}^2_{qr})$ 上での生成子の作用は左乗算および右乗算で与えられ、既知の公式が回復される。
• 2つの表現アプローチはユニタリ同値である：1つはモジュール分解によるもので、もう1つは $L^2(\mathrm{S}^2_{qr})^{2|j|+1}P_j$ 上の有界作用素によるもので、稠密な定義域上で作用が一致する。