[論文レビュー] Representations of Galois Groups on the Homology of Surfaces

Thomas Koberda, Aaron Michael Silberstein|ArXiv.org|May 18, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、リーマン面の有限ガロア被覆におけるガロア群の1次ホモロジーへの作用を分類し、分岐していない場合と分岐している場合を区別している。分岐していない被覆では、正則1形式の幾何的実現をG- torsor 上の関数として与え、分岐している場合では分岐データを用いてホモロジー表現を完全に特徴付け、マッピングクラス群の表現や擬・アノソフ力学に新たな道具を提供する。

ABSTRACT

Let $p:Σ' oΣ$ be a finite Galois cover, possibly branched, with Galois group $G$. We are interested in the structure of the cohomology of $Σ'$ as a module over $G$. We treat the cases of branched and unbranched covers separately. In the case of branched covers, we give a complete classification of possible module structures of $H_1(Σ',\bC)$. In the unbranched case, we algebro-geometrically realize the representation of $G$ on holomorphic 1-forms on $Σ'$ as functions on unions of $G$-torsors. We also explicitly realize these representations for certain branched covers of hyperelliptic curves. We give some applications to the study of pseudo-Anosov homeomorphisms of surfaces and representation theory of the mapping class group.

研究の動機と目的

• リーマン面の有限ガロア被覆について、$ H_1(\Sigma', \mathbf{C}) $ におけるガロア群作用の構造を分類すること。
• 分岐していない場合に、ガロア群の正則1形式への作用の代数的・幾何的実現を提供すること。
• 分岐している場合に、$ G $-加群構造 $ H_1(\Sigma', \mathbf{C}) $ を分岐データを用いて完全に特徴づけること。
• 理論を、有限指数部分群のマッピングクラス群の表現および擬・アノソフ写像類の研究に応用すること。
• 分岐している被覆において、$ H^{1,0} $ と $ H^{0,1} $ への作用が同型となる条件を調べ、正則表現の幾何的実現可能性を検討すること。

提案手法

• 幾何的Chevalley-Weil理論を用いて、被覆上の正則1形式の空間を、基底面の有限個の点上の $ G $-torsor の関数に結びつける。
• Atiyah-Bottの固定点公式とホッジ理論を適用し、非分岐の場合に古典的Chevalley-Weil定理を精緻化する。
• 分岐除集合上の置換表現としての $ G $-位相的表現を分類し、自由群から $ G $ への全射で、生成元の像が巡回群であるものから生じることを示す。
• 分岐している場合のホモロジー表現を、分岐点上のファイバーにおける置換表現の直和による、穴あき被覆のホモロジーの商として構成する。
• リーマン・ローチの定理とクリフォードの定理を用いて、被覆上の正則微分形式の空間を、特に分岐除集合に関連して分析する。
• ハイパーエリプティック曲線の自己同型群の構造を用いて、特定のガロア被覆においてハイパーエリプティックな引き戻しの存在に反例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガロア群の $ H^1(Σ', \mathbb{R}) $ への作用が正則表現と同型となるのはいつか、そしてそれはどのように幾何的に実現できるか？
• RQ2 分岐ガロア被覆において、$ H_1(Σ', \mathbb{Z}) $ の $ G $-加群構造は何か明確に特定できるか、そして分岐除集合とどのように関係するか？
• RQ3 分岐している場合に、$ G $-作用が $ H^{1,0}(Σ') $ と $ H^{0,1}(Σ') $ に同型となる条件は何か？
• RQ4 ガロア群のランクが $ \geq 6 $ の被覆において、Chevalley-Weilの公式を分岐点で局所化できるか、そして幾何的実現可能性にどのような含意を持つのか？
• RQ5 擬・アノソフ写像類の不安定・安定の葉層が、すべての有限被覆で非可縮的のままであるのはいつか、そしてホモロジー上のスペクトル半径とどのように関係するか？

主な発見

• 分岐していない場合、正則な $ G $-等変同型 $ H^{1,0}(Σ') / \pi^* \mathbb{R} \omega \cong \mathrm{Funct}(\bigcup_{i=1}^{g-1} \pi^{-1}(p_i), \mathbb{R}) $ が自然に存在し、正則1形式が $ G $-torsor 上の関数として実現される。
• 分岐している被覆では、$ H_1(\Sigma', \mathbb{Z}) \cong H_1(\Sigma' \setminus p^{-1}(B), \mathbb{Z}) / (V / \mathbf{1}) $ が成り立ち、ここで $ V $ は分岐点上のファイバーにおける置換表現の和である。
• 置換表現 $ \rho $ が位相的（分岐表現として実現可能）であるための必要十分条件は、自由群 $ F $ から $ G $ への全射で、生成元の像が巡回群であるものから生じることである。
• ランク $ \geq 6 $ のアーベル的ガロア群に対しては、被覆への引き戻しがハイパーエリプティックになるような基底面上の複素構造は存在せず、Chevalley-Weilの公式の局所化に限界があることが示された。
• 擬・アノソフ写像類 $ \psi $ がホモロジー上に作用するスペクトル半径が、すべての有限被覆でその拡大率 $ K $ よりも厳密に小さいのは、不安定・安定の葉層がすべての有限被覆で非可縮的のままであるときである。
• 適切な条件下で、分岐除集合上で消える正則微分形式の空間 $ h^0(K - B) $ は $ \rho_R^{g-1} \oplus \mathbf{1} $ に同型であり、幾何的実現が確立されている。