[論文レビュー] Representations of Group Algebras in Spaces of Completely Bounded Maps

Roger R. Smith, Nico Spronk|ArXiv.org|Oct 27, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$\Gamma_\pi: \mathrm{M}(G) \to \mathcal{CB}^\sigma(\mathcal{B}(\mathcal{H}))$ で定義される写像の像を調査し、$\Gamma_\pi(\mu) = \int_G \pi(s) \otimes \pi(s)^* \, d\mu(s)$ により、拡張されたハーガープテンソル積 $\mathcal{B}(\mathcal{H}) \otimes^{eh} \mathcal{B}(\mathcal{H})$ と同定する。主な結果は、$\Gamma_\pi(\mathrm{L}^1(G)) \subset \mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$ であるための必要十分条件が、表現 $\pi$ がノルム連続であることであることを示しており、ノルム連続性の特徴づけをテンソル積構造を通じて与える。

ABSTRACT

Let G be a locally compact group, M(G) denote its measure algebra and L^1(G) denote its group algebra. Also, let pi:G->U(H) be a strongly continuous unitary representation, and let CB^{sigma}(B(H)) be the space of normal completely bounded maps on B(H). We study the range of the map Gamma_pi:M(G)->CB^sigma(B(H)), Gamma_pi(mu)= int_G pi(s)\otimes pi(s)^*dmu(s) where we identify CB^sigma(B(H)) with the extended Haagerup tensor product B(H)\otimes^{eh}B(H)$. We use the fact that the C*-algebra generated by integrating pi to L^1(G) is unital exactly when pi is norm continuous to show that Gamma_pi(L^1(G))\subset B(H)\otimes^{eh}B(H) exactly when pi is norm continuous. For the case that G is abelian, we study Gamma_pi(M(G)) as a subset of the Varopoulos algebra. We also characterise positive definite elements of the Varopoulos algebra in terms of completely positive operators.

研究の動機と目的

• 測度代数 $\mathrm{M}(G)$ から $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ 上の正規完全有界線形写像の空間への写像 $\Gamma_\pi$ の像を理解すること。
• $\Gamma_\pi$ による $\mathrm{L}^1(G)$ の像がハーガープテンソル積 $\mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$ に含まれる条件を特定すること。
• $\Gamma_\pi(\mathrm{M}(G))$ のフーリエ＝スタイリーツ変換から生じるバロポロス代数 $\mathrm{V}^b(E_\pi)$ における正および完全正値の要素を特徴づけること。
• スペクトル台 $E_\pi$ の位相的構造と、$f \in \mathrm{L}^1(G)$ に対して $\Gamma_\pi(f)$ がテンソル積に属する条件との関係を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、双対性と作用素級数の弱*収束を用いて、$\mathcal{CB}^\sigma(\mathcal{B}(\mathcal{H}))$ を拡張されたハーガープテンソル積 $\mathcal{B}(\mathcal{H}) \otimes^{eh} \mathcal{B}(\mathcal{H})$ と同定する。
• フーリエ＝スタイリーツ変換を用いて $\Gamma_\pi$ を分析し、$\Gamma_\pi(\mu)$ を $E_\pi \times E_\pi$ 上の関数と関連づけ、バロポロス代数 $\mathrm{V}^b(E_\pi)$ を得る。
• 完全正値写像に関する結果を応用し、$\Gamma_\pi(\mu)$ が完全正値である条件を特徴づける。これは、$E_\pi \times E_\pi$ 上で $\sigma, \tau \mapsto \hat{\mu}(\sigma \tau^{-1})$ が正定値関数であることと関連する。
• C*-代数 $\mathcal{C}^*_\pi$ が単位的であることと $\pi$ がノルム連続であることとは同値であるという事実を、テンソル積への属する条件を特徴づけるために用いる。
• 具体的な例（$G = \mathbb{T}$ で $\pi(z)\xi_n = z^{n^2}\xi_n$）を構成し、$\pi$ がノルム連続でない場合でも、$f \in \mathrm{I}_0(G)$ かつ $\hat{f}$ が $E_\pi \cap \sigma E_\pi$ がコンパクトとなるような集合に台を持つとき、$\Gamma_\pi(f) \in \mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$ であることを示す。
• アーベル群におけるフーリエ変換を用いて、$\Gamma_\pi$ の像を $\hat{f}$ の台と $E_\pi \cap \sigma E_\pi$ の相互作用の観点から分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\Gamma_\pi(\mathrm{L}^1(G))$ の像がハーガープテンソル積 $\mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$ に含まれる条件は何か？
• RQ2 強連続ユニタリ表現 $\pi$ のノルム連続性は、$\Gamma_\pi(\mathrm{L}^1(G))$ のテンソル積構造によってどのように特徴づけられるか？
• RQ3 $\Gamma_\pi(\mu)$ の完全正値性は、$\mu$ のフーリエ＝スタイリーツ変換によってどのように特徴づけられるか？
• RQ4 $G$ と $\pi$ にどのような条件を課すと、$\Gamma_\pi$ は $\mathrm{L}^1(G)$ 上で単射または等長的になるか？
• RQ5 $\pi$ がノルム連続でない場合に、$f \in \mathrm{L}^1(G)$ に対して $\Gamma_\pi(f)$ が $\mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$ に属する条件は何か？

主な発見

• $\Gamma_\pi(\mathrm{L}^1(G)) \subset \mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$ であるための必要十分条件は、表現 $\pi$ がノルム連続であることである。
• アーベル群 $G$ の場合、$\Gamma_\pi$ の像はバロポロス代数 $\mathrm{V}^b(E_\pi)$ と同定され、$\Gamma_\pi(\mu)$ が完全正値であるための必要十分条件は、$E_\pi \times E_\pi$ 上で $\sigma, \tau \mapsto \hat{\mu}(\sigma \tau^{-1})$ が正定値関数であることである。
• $\Gamma_\pi$ の核は $\{\mu \in \mathrm{M}(G) : \hat{\mu}|_{E_\pi E_\pi^{-1}} = 0\}$ に一致し、$\Gamma_\pi$ が単射であるのは、$\hat{\mu}$ が差集合 $E_\pi E_\pi^{-1}$ 上で消えないときである。
• 明示的な例により、$\pi$ がノルム連続でない場合でも、$f \in \mathrm{I}_0(G)$ かつ $\hat{f}$ が $E_\pi \cap \sigma E_\pi$ がコンパクトとなるような集合に台を持つとき、$\Gamma_\pi(f) \in \mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$ であることが示された。
• $G = \mathbb{R}$ で $E_\pi = [0, \infty)$ の場合、$\Gamma_\pi$ は単射だが、必ずしも等長的ではない。等長性に関する問題は未解決のままである。
• $E_\pi = \widehat{G}$（例えば左正則表現の場合）では、$\Gamma_\pi(\mathrm{L}^1(G)) \cap (\mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi) = \{0\}$ となる。これは、$\pi$ がノルム連続でない限り、テンソル積への属する例が稀であることを示している。