[論文レビュー] Representations of Higher Rank Graph Algebras

Kenneth R. Davidson, Dilian Yang|ArXiv.org|Apr 23, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、1つの頂点上のk図形代数𝔽ₜ⁺の任意の不可約原子的*-表現が、群構成表現の最小*-拡張として実現されることを確立し、原子的表現の完全な分解が得られる。主な結果は、C*-代数𝒞*(𝔽ₜ⁺)がC(𝕋ˢ) ⊗ 𝔞に同型であることで、ここにsは対称部分群Hₜ ≤ ℤᵏのランクであり、単純性は非周期性（Hₜ = {0}）と同値である。

ABSTRACT

Let $\Fth$ be a $\Bk$-graph on a single vertex. We show that every irreducible atomic $*$-representation is the minimal $*$-dilation of a group construction representation. It follows that every atomic representation decomposes as a direct sum or integral of such representations. We characterize periodicity of $\Fth$ and identify a symmetry subgroup $H_θ$ of $\bZ^\Bk$. If this has rank $s$, then $\ca(\Fth) \cong C(\bT^s) \otimes \fA$ for some simple C*-algebra $\fA$.

研究の動機と目的

• 1つの頂点上のk図形に、ランク2から任意のk図形への原子的*-表現の構造理論を拡張すること。
• 対称部分群Hₜ ≤ ℤᵏを用いてk図形の周期性を特徴づけ、C*-代数構造と関連付けること。
• 原子的表現を群構成表現の直和または積分としての分解を確立すること。
• Hₜのランクsを用いて𝒞*(𝔽ₜ⁺)の同型型を特定し、𝒞*(𝔽ₜ⁺) ≅ C(𝕋ˢ) ⊗ 𝔞（単純な𝔞）を示すこと。
• 𝒞*(𝔽ₜ⁺)の中心をC(𝕋ˢ)として特定し、中心的ユニタリWₕがHₜの元h ∈ Hₜに対応することを示すこと。

提案手法

• 欠損なしで行収縮的な*-表現に対して、最小*-拡張が一意に存在することを拡張理論を用いて示す。
• 可換群ℤᵏのユニタリ表現を用いて、k図形を定義する置換θによってインデックス付けられた自然な原子的*-表現の族を構成する。
• 対称部分群Hₜ ≤ ℤᵏを、各h ∈ ℤᵏが図形構造を保存するようなすべてのhの集合として定義し、因数化置換θᵢⱼを用いる。
• Hₜがランクs ≤ kの自由可換群であることを示し、C*-代数𝒞*(𝔽ₜ⁺)がファイバーが𝔞である𝕋ˢ上の連続的場構造を有することを確立する。
• ゲージ作用と商写像を用いて、Θ: 𝒞*(𝔽ₜ⁺) → C(𝕋ˢ, 𝔞)を*-準同型として構成し、忠実性と全射性を示すことで、これが同型であることを証明する。
• 中心𝒟 = C*(W₁,…,Wₛ) ≅ C(𝕋ˢ)であり、中心的ユニタリWₕがHₜの元h ∈ Hₜに対応することを用いる。Wₕ = ∑ₑ∈ᴱ γ(e)e* は適切な集合E, Fに対して成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの頂点上のk図形代数の不可約原子的*-表現は、すべて群構成表現の最小*-拡張として実現可能か？
• RQ2 k図形における対称部分群Hₜ ≤ ℤᵏの構造は何か？そのランクsはC*-代数構造とどのように関係するか？
• RQ3 k図形𝔽ₜ⁺の周期性はHₜが自明であることとどのように関係し、𝒞*(𝔽ₜ⁺)の分解にどのように影響するか？
• RQ4 𝒞*(𝔽ₜ⁺)の中心は何か？中心的ユニタリWₕは群Hₜとどのように関係するか？
• RQ5 𝒞*(𝔽ₜ⁺)が単純になる条件は何か？これは図形の非周期性とどのように関係するか？

主な発見

• 𝔽ₜ⁺の不可約原子的*-表現はすべて、群構成表現の最小*-拡張として実現され、このような表現の完全な分類が得られる。
• C*-代数𝒞*(𝔽ₜ⁺)は、単純なC*-代数𝔞に対してC(𝕋ˢ) ⊗ 𝔞に同型である。ここでsは対称部分群Hₜ ≤ ℤᵏのランクである。
• 𝒞*(𝔽ₜ⁺)が単純であることと、Hₜ = {0}（すなわち図形が非周期的であること）は同値である。
• 𝒞*(𝔽ₜ⁺)の中心は𝒟 = C*(W₁,…,Wₛ) ≅ C(𝕋ˢ)であり、写像h ↦ WₕはHₜから中心のユニタリ群への群準同型である。
• Hₜの元h ∈ Hₜに対応する中心的ユニタリWₕは、Wₕ = ∑ₑ∈ᴱ γ(e)e* で与えられ、γは次数hと−hの語の集合の間の全単射である。
• 同型𝒞*(𝔽ₜ⁺) ≅ C(𝕋ˢ) ⊗ 𝔞は、ゲージ自己同型と商写像を用いて構成された連続的場のC*-代数により実現される。