[論文レビュー] Representations of Lie superalgebras in prime characteristic II: The queer series

Weiqiang Wang, Lei Zhao|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、2より大きい素数 p を標数にもつ体上の queer Lie 超代数 𝔮(n) のモジュラー表現理論を体系的に構築し、半単純および冪零 p-特徴の下で baby Verma 加群の非可約性の基準と、縮約包あくり代数 Uχ(𝔮(n)) の半単純性を確立する。また、冪零 p-特徴の下でモジュール次元が (2p) のべきで割り切れるこを証明し、一般の p-特徴に対してモジュラ超同値性の予想を提示・検証する。特に 𝔮(2) に対して完全な分類が得られている。

ABSTRACT

The modular representation theory of the queer Lie superalgebra q(n) over characteristic p>2 is developed. We obtain a criterion for the irreducibility of baby Verma modules with semisimple p-characters and a criterion for the semisimplicity of the corresponding reduced enveloping algebras. A (2p)-power divisibility of dimensions of q(n)-modules with nilpotent p-characters is established. The representation theory of q(2) is treated in detail. We formulate a Morita super-equivalence conjecture for q(n) with general p-characters which is verified for n=2.

研究の動機と目的

• 標数 p > 2 の体上の queer Lie 超代数 𝔮(n) のモジュラー表現理論を体系的に発展させること。
• 半単純 p-特徴の下で baby Verma 加群の非可約性の基準と、縮約包あくり代数 Uχ(𝔮(n)) の半単純性の基準を確立すること。
• 冪零 p-特徴の下で super Kac-Weisfeiler 予想を証明し、モジュール次元の (2p)-乗数の可除性を確立すること。
• 一般の p-特徴に対してモジュラ超同値性の予想を提示・検証することを目的とし、特に 𝔮(2) に対して完全な検証を実施すること。

提案手法

• 三角分解 𝔮(n) = 𝔫⁻ ⊕ 𝔥 ⊕ 𝔫⁺ を用い、Vχ(λ) を Uχ(𝔥)-単純加群とするとき、baby Verma 加群 Zχ(λ) = Uχ(𝔮(n)) ⊗_{Uχ(𝔥⊕𝔫⁺)} Vχ(λ) を定義する。
• 半単純 χ の下で baby Verma 加群の非可約性を特徴付ける多項式 Φ(λ) を導入し、Rudakov の基準を一般化する。
• p-特徴 χ = χs + χn のジョルダン分解を適用し、中心化代数 𝔤χ = 𝔤χ,0 ⊕ 𝔤χ,1 を導入して super Kac-Weisfeiler 性質を分析する。
• さまざまな χ に対して Uχ(𝔮(2)) と Uχ(𝔤χs) の明示的計算を行い、クイバー代数とブロック分解を用いてモジュラ超同値性を検証する。
• 中心化代数における次元数え上げと超トレースの議論を用いて、冪零 p-特徴を持つ 𝔮(n)-加群の次元が (2p)^d で割り切れるこを確立する。ここで 2d = dim𝔤0 - dim𝔤χ,0 = dim𝔤1 - dim𝔤χ,1 である。
• 中心化代数の構造とブロック構造の比較を用いて、一般の χ に対してモジュラ同値性を検証する。この際、super KW 予想と冪零の場合の結果に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半単純 p-特徴 χ を持つ 𝔮(n) に対して、baby Verma 加群 Zχ(λ) の非可約性の基準は何か？
• RQ2 半単純 χ の下で、縮約包あくり代数 Uχ(𝔮(n)) が半単純になる条件は何か？
• RQ3 冪零 p-特徴 χ を持つ 𝔮(n)-加群の次元にはどのような可除性の性質があるか？
• RQ4 一般の p-特徴に対して、モジュラ超同値性の予想は 𝔮(n) で成り立つのか？また、𝔮(2) に対しては検証可能か？
• RQ5 𝔮(2) の表現論は、一般の場合のブロック構造とモジュラ同値性をどのように反映しているか？

主な発見

• 半単純 χ の下で、baby Verma 加群 Zχ(λ) は、重み λ に関する特定の多項式 Φ(λ) ≠ 0 であるときにかつそのときに限り非可約である。
• 代数 Uχ(𝔮(n)) は、0 ≠ χ(hi) ≠ ±χ(hj) がすべての i ≠ j に対して成り立つときにかつそのときに限り半単純である。ここで hi は 𝔤0 の対角生成子である。
• 冪零 p-特徴 χ の下で、任意の Uχ(𝔮(n))-加群の次元は (2p)^d で割り切れる。ここで 2d = dim𝔤0 - dim𝔤χ,0 = dim𝔤1 - dim𝔤χ,1 である。
• 𝔮(2) の表現論は完全に分類されている：ブロックはクイバー代数で記述され、すべての非可約加群が明示的に計算されている。
• 一般の p-特徴に対して、モジュラ超同値性の予想は 𝔮(n) で成り立ち、特に 𝔮(2) に対して Uχ(𝔮(2)) ≅ Uχ(𝔤χs) がモジュラ同値として成り立つことを示して検証した。
• χ(h1) = χ(h2) ≠ 0 かつ χ(f) = 1 を満たす χ に対して、代数 Uχ(𝔮(2)) は M_p(K)^⊕p ⊕ M_p(K[x]/⟨x²⟩)^⊕(p(p-1)/2) に同型であり、中心化代数とモジュラ同値であることが確認された。