[論文レビュー] Representations of multicategories of planar diagrams and tensor categories

Shigeru Yamagami|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、平面図式マルチカテゴリ（特に、交互に装飾された平面図式のマルチカテゴリ 𝒜𝒟）の表現と単生成のピボタル線形2カテゴリの間の一対一対応を確立する。また、平面代数——正の部分マルチカテゴリ 𝒜𝒟₊ の表現として定義される——が、ややきめ細かい条件下で、このような2カテゴリと同値であることを示し、非退化な左次元とねじれの性質といった重要な構造的制約が、平面C*-代数との対応を保証する。

ABSTRACT

We shall discuss how the notions of multicategories and their linear representations are related with tensor categories. When one focuses on the ones arizing from planar diagrams, it particularly implies that there is a natural one-to-one correspondence between planar algebras and singly generated bicategories.

研究の動機と目的

• 平面図式のマルチカテゴリとテンソルカテゴリの間の圏論的関係を明確化すること。
• 平面代数と単生成のピボタル線形2カテゴリの間の正確な対応を確立すること。
• ループパラメータ d ≠ 0 のとき、平面図式のマルチカテゴリ 𝒜𝒟 の表現が、正の部分マルチカテゴリ 𝒜𝒟₊ から一意に拡張可能であることを示すこと。
• 単位対象が単純な剛性C*-2カテゴリから生じる平面C*-代数を特徴づけること。
• スカラー d を用いたループ除去と正規化が、平面図式における偶奇境界を越えて表現を拡張する役割を形式化すること。

提案手法

• マルチカテゴリを、複数の入力と一つの出力を持つ射をもつ圏として定義し、合成を根付き木の視覚的表現で扱う。
• 厳密なモノイダル圏 𝒞 からマルチカテゴリ ℳ を構成し、Hom(X₁⊗⋯⊗Xₗ, X) = Hom(X₁⊗⋯⊗Xₗ, X) を 𝒞 内で定義する。
• 弱いモノイダル関手 𝒞 → 𝒞′ とマルチカテゴリ関手 ℳ → ℳ′ の間の一対一対応を、自然な射 m_{X,Y} を用いた関手の拡張によって確立する。
• 交互に装飾された平面図式のマルチカテゴリ 𝒜𝒟 を導入し、対象を ± の偶奇でラベル付けする。また、正の開始装飾を持つ部分マルチカテゴリ 𝒜𝒟₊ を定義する。
• pod C（1⊗a = da を満たす）を用いて、写像 a ↦ 1⊗a によって P⁻_{m,n} ↪ P⁺_{m+1,n+1} の単射埋め込みを定義し、d^e による正規化を用いて、𝒜𝒟₊ から 𝒜𝒟 への表現の拡張を可能にする。
• C* と 1⊗T を含む正規化された合成を用いて拡張表現 π_T を定義し、m_{X,Y} の結合性と六角形恒等式により、差し込み操作における一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面図式のマルチカテゴリは、特に平面代数の文脈において、テンソルカテゴリとどのように関係しているか？
• RQ2 平面代数と単生成のピボタル線形2カテゴリの間の正確な圈权論的対応は何か？
• RQ3 どのような条件下で、正の平面図式マルチカテゴリ 𝒜𝒟₊ の表現が、全交互図式マルチカテゴリ 𝒜𝒟 に一意に拡張可能か？
• RQ4 ループパラメータ d と偶奇（±）は、平面図式マルチカテゴリ内の表現の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 平面C*-代数が、単位対象が単純な剛性C*-2カテゴリに対応するための条件は何か？

主な発見

• 定理6.2により、平面代数と単生成のピボタル線形2カテゴリの間には自然な一対一対応が存在する。
• d ≠ 0 のとき、Lemma 6.1 により、𝒜𝒟₊ の任意の表現は、d^e による正規化を用いて一意に 𝒜𝒟 に拡張可能である。
• 拡張のメカニズムは、写像 a ↦ 1⊗a によって定義される単射埋め込み P⁻_{m,n} ↪ P⁺_{m+1,n+1} に依存し、その像は π_{1⊗C}(a) = da で特徴づけられる。
• 射 T ∈ 𝒜𝒟 に対する表現 π_T は、出力の偶奇に応じて π_T = (1/d^e)π⁺_{T∘(C₁*×⋯×C_d*)} または (1/d^e)π⁺_{(1⊗T)∘(C₁*×⋯×C_d*)} で与えられる。
• m_{X,Y} の結合性と六角形恒等式を用いて、差し込み操作における表現 π の結合性が確認され、π_T∘(π_{T₁}⊗⋯⊗π_{T_d}) = π_{T∘(T₁×⋯×T_d)} が成り立つことが示された。
• Corollary 6.4 により、平面C*-代数は、単位対象が単純な単生成の剛性C*-2カテゴリと一対一に対応する。