[論文レビュー] Representations of multimeasures via multivalued Bartle-Dunford-Schwartz integral

Luisa Di Piazza, Kazimierz Musiał+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2021

Advanced Banach Space Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、局所凸空間に値をとる多重測度に関して、選択に依存しない多値 Bartle-Dunford-Schwartz (BDS) 積分を導入する。この積分は、支援関数を用いて定義され、一様スカラー絶対連続性、支配性、劣分数の条件下で一般および $d_H$-多重測度に対するRadon-Nikodým定理を可能にし、可積分性および密度表現に関する主要な結果をもたらす。

ABSTRACT

An integral for a scalar function with respect to a multimeasure $N$ taking its values in a locally convex space is introduced. The definition is independent of the selections of $N$ and is related to a functional version of the Bartle-Dunford-Schwartz integral with respect to a vector measure presented by Lewis. Its properties are studied together with its application to Radon-Nikodym theorems in order to represent as an integrable derivative the ratio of two general multimeasures or two $d_H$-multimeasures; equivalent conditions are provided in both cases.

研究の動機と目的

• 多重測度の選択に依存しない多値 Bartle-Dunford-Schwartz 積分を定義すること。
• 一様スカラー絶対連続性、支配性、劣分数の条件下で一般多重測度に対するRadon-Nikodým定理を確立すること。
• $d_H$-多重測度へ理論を拡張し、支援関数の非加法性および Rådström 埋め込みを考慮すること。
• 可算鎖条件 (ccc) およびバナッハ空間の性質を用いて制御測度の存在を特徴付けること。
• ある多重測度を別の多重測度の積分として、多値密度関数を用いて表現するための十分条件を提供すること。

提案手法

• 多重測度 $N$ の個々の選択に依存しないように、支援関数 $s(x', N)$ を用いて多値BDS積分を定義する。
• 多値拡張の基盤として、Lewisの関数的バージョンのBDS積分を用いる。
• Radon-Nikodým導関数のための主要な条件として、一様スカラー絶対連続性、支配性、劣分数を導入する。
• 非加法性を考慮しつつ、多重測度の微分とベクトル測度論を結びつけるために Rådström 埋め込み $j$ を適用する。
• 可算鎖条件 (ccc) およびバナッハ空間構造（例：$cb(X)$-多重測度）を用いて制御測度の存在を確立する。
• 多変数関数のPettisおよびGelfand可積分性を用いて、積分表現を持つ $d_H$-多重測度の例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多重測度の選択に依存しない多値 Bartle-Dunford-Schwartz 積分を定義できるか？
• RQ2 どのような条件下で、ある多重測度 $M$ が別の多重測度 $N$ に対してRadon-Nikodým導関数を持つのか？
• RQ3 Rådström 埋め込み $j \circ M$ の性質は、$M$ が $N$ に対してどのように微分可能かにどのように関係するか？
• RQ4 局所凸空間における多重測度に対して制御測度が存在するための条件は何か？
• RQ5 どのような条件下で、ある多重測度を別の多重測度の積分として、多値密度関数を用いて表現できるか？

主な発見

• 多値BDS積分は支援関数を用いて定義され、多重測度の特定の選択に依存しないことを保証する。
• 一般多重測度に関しては、Radon-Nikodým導関数の存在が、一様スカラー絶対連続性、支配性、劣分数によって特徴づけられる。
• $d_H$-多重測度に関しては、強いついしんスカラー条件（強いついしん絶対連続性、支配性、劣分数）が、$M$ およびその Rådström 埋め込み $j \circ M$ の両方のRadon-Nikodým導関数の存在に必要かつ十分である。
• 積分表現 $M(E) = \int_E \theta \, dN$ が成り立つのは、$f_1$ が $\theta f_2$ とスカラー同値であり、かつ $r_1 = r_2 |\theta| \, \mu$-ほとんど everywhere であるときに限る。ここで $\theta$ は可測である。
• Rådström 埋め込み $j \circ M$ が $j \circ N$ に関するBDS積分として表せるのは、$\theta$ が非負であるときに限る。
• $cb(X)$-多重測度に対して制御測度が存在するのは、空間 $X$ が可算鎖条件 (ccc) を満たすときであり、かつそのような測度は特定の局所凸空間における $c(X)$-値多重測度に対しても存在する。