[論文レビュー] Representations of quantum tori and double-affine Hecke algebras

Vladimir Baranovsky, Sam Evens+1 more|ArXiv.org|May 2, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、楕円曲線上の半安定 $G$-バンドルを介して、量子トーラスをWeyl群で捻ったものの不変表現の分類を確立し、$v=0$ で量子トーラス代数、$v=1$ で二重アフィンヘッケ代数に滑らかに接続する $v$-deformation を導入する。二重アフィンヘッケ代数の不変表現とヒッグス $G$-バンドルを関連付けるデリーニュ＝ラングランズ＝ルスティグ型の予想を提示し、零留数条件による作用素的実現も与える。

ABSTRACT

We study a BGG-type category of infinite dimensional representations of H[W], a semi-direct product of the quantum torus with parameter `q' built on the root lattice of a semisimple group G, and the Weyl group of G. Irreducible objects of our category turn out to be parameterized by semistable G-bundles on the elliptic curve C^*/q^Z. In the second part of the paper we construct a family of algebras depending on a parameter `v' that specializes to H[W] at v=0, and specializes to the double-affine Hecke algebra introduced by Cherednik, at v=1. We propose a Deligne-Langlands-Lusztig type conjecture relating irreducible modules over the double-affine Hecke algebra to Higgs G-bundles on the elliptic curve. The conjecture may be seen as a natural `v-deformation' of the classification of simple H[W]-modules obtained in the first part of the paper. Also, an `operator realization' of the double-affine Hecke algebra, as well as of its Spherical subalgebra, in terms of certain `zero-residue' conditions is given.

研究の動機と目的

• 量子トーラス $\mathcal{H}$ と半単純群 $G$ のWeyl群 $W$ の積である twisted group ring $\mathcal{H}[W]$ の不変表現を分類すること。
• 不変 $\mathcal{H}[W]$-加群と楕円曲線 $\mathbb{C}^*/\mathbf{q}^\mathbb{Z}$ 上の半安定 $G$-バンドルとの対応を確立すること。
• $v=0$ で $\mathcal{H}[W]$ に、$v=1$ で二重アフィンヘッケ代数に接続する一パラメータ族の代数 $\mathcal{H}_v$ を構成すること。
• 二重アフィンヘッケ代数の不変表現と同様の楕円曲線上のヒッグス $G$-バンドルを関連付けるデリーニュ＝ラングランズ＝ルスティグ型の予想を提示すること。
• より大きな量子トーラス代数における零留数条件を用いて、二重アフィンヘッケ代数およびその球面的部分代数の明示的作用素的実現を与えること。

提案手法

• 量子トーラス $\mathcal{H}$ の部分代数 $\mathcal{A}$（$\mathcal{H}$ の半分の次元）に関して、局所有限 $\mathcal{H}$-加群の BGG 型の圏 $\mathcal{M}(\mathcal{H}, \mathcal{A})$ を定義し、$\mathcal{O}$ 圏を一般化する。
• 半単純群 $G$ のWeyl群 $W$ と量子トーラス $\mathcal{H}$ からなる twisted group ring $\mathcal{H}[W]$ を構成し、$\mathcal{M}(\mathcal{H}, \mathcal{A})$ 内でその不変加群を分類する。
• $\mathcal{H}[W]$ と $W$-不変部分代数 $\mathcal{H}^W$ の間のモラータ同倣を確立し、表現論的性質の移行を可能にする。
• パrameter $v$ に依存する代数族 $\mathcal{H}_v$ を導入し、$\mathcal{H}_0 \simeq \mathcal{H}[W]$ かつ $\mathcal{H}_1$ が二重アフィンヘッケ代数に同型となるようにする。
• $\mathcal{H}_{\text{frac}}[W]$ の部分代数として、零留数条件を用いて $\mathcal{H}_v$ の作用素的実現を与える。
• $\mathcal{H}_{\text{frac}}$ の $W$-不変部分として球面的部分代数を構成し、$v=0$ で $\mathcal{H}^W$ に特殊化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子トーラス代数 $\mathcal{H}[W]$ の不変表現は、楕円曲線上の幾何的対象としてどのように分類できるか？
• RQ2 表現論の文脈において、$W$-不変部分代数 $\mathcal{H}^W$ の幾何的意味は何か？
• RQ3 量子トーラスと二重アフィンヘッケ代数の間を滑らかに接続する代数 $\mathcal{H}[W]$ の連続的変形はどのように構成できるか？
• RQ4 二重アフィンヘッケ代数に対して、デリーニュ＝ラングランズ＝ルスティグ予想の類似は何か？ そして楕円曲線上のヒッグスバンドルとどのように関係するか？
• RQ5 零留数条件を用いて、二重アフィンヘッケ代数を作用素代数として明示的にどのように実現できるか？

主な発見

• 不変 $\mathcal{H}[W]$-加群は、楕円曲線 $\mathbb{C}^*/\mathbf{q}^\mathbb{Z}$ 上の半安定 $G$-バンドル $P$ と、$\operatorname{Aut}(P)/(\operatorname{Aut} P)^\circ$ の適切な表現 $\alpha$ のペア $(P, \alpha)$ との間の一対一対応にある。
• $\mathcal{M}(\mathcal{H}, \mathcal{A})$ は有限長であり、すべての単純対象は楕円曲線上の幾何的データによって分類される。
• $\mathcal{H}_v$ の族は、$v=1$ で二重アフィンヘッケ代数に特殊化する $\mathcal{H}[W]$ の $v$-deformation を提供し、量子トーラス構造を一般化する。
• 二重アフィンヘッケ代数は、$\mathcal{H}_{\text{frac}}[W]$ の部分代数として、特定の零留数条件を満たすものとして作用素的実現された。
• 球面的部分代数は $v=0$ で $\mathcal{H}^W$ に特殊化し、同じ零留数条件によって実現される。
• 二重アフィンヘッケ代数の不変加群が楕円曲線上のヒッグス $G$-バンドルに対応することを示す予想を提示した。これは、$\mathcal{H}[W]$-加群の分類を一般化する。