[論文レビュー] Representations of quantum toroidal $gl_n$

Boris Feigin, M. Jimbo+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、FockモジュールとMacMahonモジュールの半無限ウェッジ積を用いて、色付き平面分割によって添え字付けられた、量子トロイダル代数 $\mathcal{E}_n$ の明示的で組合せ的にラベル付けされた非可約表現を構成する。主な結果は、これらの表現と一般レベルにおける量子アフィン $\mathfrak{gl}_n$ の非可約最高重みモジュールとの間に同型が存在することであり、境界条件を満たす平面分割を用いたWeyl型モジュールの完全な組合せ的記述を提供する。

ABSTRACT

We define and study representations of quantum toroidal $gl_n$ with natural bases labeled by plane partitions with various conditions. As an application, we give an explicit description of a family of highest weight representations of quantum affine $gl_n$ with generic level.

研究の動機と目的

• 量子トロイダル代数 $\mathcal{E}_n$ の非可約で準有限な表現を、有限次元の重み空間を持つように体系的に構成すること。
• 色付き平面分割とMacMahonモジュールを用いて、これらの表現の明示的な組合せ的基底を提供すること。
• 量子トロイダル表現と一般レベルにおける量子アフィン $\mathfrak{gl}_n$ の最高重みモジュールとの間の関係を確立すること。
• $\mathcal{E}_n$-モジュールの制限を用いて、$U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_n$ のWeyl型モジュールの組合せ的実現を与えること。
• 量子ドリンフェルト＝ソコロフ還元を $W$-代数の表現に適用し、一般中心電荷を持つ表現を関連付けること。

提案手法

• レベル $q = q_2^{1/2}$ のFockモジュール $\mathcal{F}^{(k)}(u)$ を、ベクトル表現 $V(u)$ の半無限ウェッジ積を用いて構成し、色付き分割によってラベルづけられる。
• Fockモジュールの半無限ウェッジ積を用いてMacMahonモジュール $\mathcal{M}^{(k)}_{\alpha,\beta,\gamma}(u;K)$ を定義し、漸近的境界条件を満たす色付き平面分割によって添え字付けられる基底を持つ。
• MacMahonモジュールのテンソル積を構成し、レベルを特殊化することで、さまざまな境界条件を満たす平面分割の組によって添え字付けられる、非可約で準有限な $\mathcal{E}_n$-モジュールを得る。
• $q_1 q_2 q_3 = 1$ を満たすパラメータ $q_3$ を導入し、$q_2$ を特徴的にし、$q_1$ と $q_3$ は自己同型により入れ替え可能である。
• $\mathcal{E}_n$-モジュールに量子ドリンフェルト＝ソコロフ還元を適用し、$\mathfrak{gl}_n$ に関連する $W$-代数の非可約表現を構成する。
• 特性式とBGG型分解を用いて、$\mathcal{E}_n$-モジュールと非可約 $U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_n$-モジュールとの同型を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約で準有限な量子トロイダル代数 $\mathcal{E}_n$ の表現を、明示的な基底を用いてどのように構成できるか？
• RQ2 これらの表現における重み空間の組合せ的構造は何か？ そして、平面分割にどのように符号化されるか？
• RQ3 これらの $\mathcal{E}_n$-モジュールは、一般レベルにおける量子アフィン $\mathfrak{gl}_n$ の最高重みモジュールとどのように関係するか？
• RQ4 $U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_n$ のWeyl型モジュールは、$\mathcal{E}_n$-モジュールの制限として実現可能か？
• RQ5 量子ドリンフェルト＝ソコロフ還元は、これらの $\mathcal{E}_n$-モジュールにどのように作用し、$W$-代数の表現を生成するか？

主な発見

• 著者らは、特定の境界条件を満たす平面分割の組によって添え字付けられる、非可約で準有限な $\mathcal{E}_n$-モジュール $\mathcal{G}_{\mu,\nu}^{(k)}(u)$ の族を構成した。
• これらのモジュールは、最低重み $-\lambda^{(k)}(\mu,\nu)$ を持つ非可約最高重みモジュール $\mathcal{L}_{-\lambda^{(k)}(\mu,\nu)}$ と $U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_n$-モジュールとして同型である。
• $\mathcal{G}_{\mu,\nu}^{(k)}(u)$ の特性は、Vermaモジュール $\mathcal{L}_{-\lambda^{(k)}(\mu,\nu)}$ の特性と一致し、特性比較により同型が確認された。
• この構成により、すべてのWeyl型 $U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_n$-モジュールの組合せ的記述が得られ、色 $k$ と二つの分割 $\mu, \nu$（そのうち一つは色なし）によってパrameter化される。
• $\mathcal{E}_n$-モジュール $\mathcal{H}(u_1,\ldots,u_n)$ は、$\mathcal{E}_n$-モジュールのテンソル積として構成され、明示的な基底構造を持つレベル-$q_1^{n/2}$ の表現を実現する。
• $\mathcal{H}(u_1,\ldots,u_n)$ の最低重みベクトル $v^{(k)}_{\mu,\nu}$ における $K_{\beta_i^{(k)}(\nu)}$ の固有値は $q^{-(\lambda^{(k)}(\mu,\nu), \beta_i^{(k)}(\nu))}$ であり、モジュールの重み構造が確認された。