[論文レビュー] Representations of quasiprojective groups, Flat connections and Transversely projective foliations

Frank Loray, Frédéric Touzet+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 37被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、特異的かつ非準ユニポテンツな場合への一般化を含む、クオージープロジェクティブ基本群のランク2表現のCorlette-Simpson分類を拡張することで、射影多様体上の codimension one 特異的横断的射影的foliation に対する構造定理を確立する。さらに、ランク2の平坦なメラモーフィック接続についても類似の分類を確立する。主な結果は、有理型ゲージ変換と分岐被覆を用いた局所標準形への双有理還元を通じて、リッカティfoliationの完全な分類であり、対応する正規形は、対数型および不規則型を含む。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to provide a structure theorem for codimension one singular transversely projective foliationson projective manifolds. To reach our goal, we firstly extend Corlette-Simpson's classification of rank two representationsof fundamental groups of quasiprojective manifolds by dropping the hypothesis of quasi-unipotency at infinity.Secondly we establish an analogue classification for rank two flat meromorphic connections.In particular, we prove that a rank two flat meromorphic connection with irregular singularities having non trivial Stokesprojectively factors through a connection over a curve.

研究の動機と目的

• 無限遠における準ユニポテンツ性仮定を除いて、クオージープロジェクティブ基本群のランク2表現のCorlette-Simpson分類を拡張すること。
• 特に不規則特異点を持つランク2の平坦なメラモーフィック接続について、類似の分類を確立すること。
• 双有理還元と正規形分類を用いて、射影多様体上の横断的射影的foliationのグローバル構造定理を確立すること。
• 正規交差除集合を持つ正規形に還元した後、リッカティfoliationの局所モデルを、対数型および不規則型を含めて分類すること。

提案手法

• クオージープロジェクティブ基本群のランク2表現の分類を、準ユニポテンツ性の仮定を外した場合にまで拡張し、Corlette-Simpsonの結果を一般化する。
• 射影多様体上での自明なランク2バンドル上の平坦なメラモーフィック接続を、接続行列 $ A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \omega & -\alpha \end{pmatrix} $ を用いて分析し、$ \omega \wedge d\omega = 0 $ を満たす。
• 双有理バンドル変形および基本的変形を用いて、極の除集合を最小の次数に還元し、局所正規形還元を可能にする。
• Kawamata被覆を用いて、不規則特異点における分岐を除去し、すべての成分で固定されたインデックス $ k $ を持つ不規則除集合に変換する。
• メラモーフィックゲージ還元を用いて、局所モデルを標準形に変換する：対数型、不規則型、分岐不規則型。
• グローバルな双有理変換と正規交差除集合の仮定を用いて、グローバルなfoliation構造を有限個の標準的局所モデルに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クオージープロジェクティブ基本群のランク2表現の分類は、準ユニポテンツ性の仮定を外しても拡張可能か？
• RQ2 不規則特異点を持つ平坦なメラモーフィック接続は、どのように低次元の幾何的構造へ要約されるか？
• RQ3 双有理変更を施した後、射影多様体上の横断的射影的foliationのグローバル構造はいかなるものか？
• RQ4 正規交差除集合を持つ正規形に還元した後、どの局所モデルがリッカティfoliationを分類するか？
• RQ5 被覆空間を用いて、不規則foliationにおける分岐特異点をどのように除去し、均一な不規則性インデックスを達成できるか？

主な発見

• 本稿では、不規則特異点と非自明なストークスデータを持つランク2の平坦なメラモーフィック接続が、曲線上の接続へ要約されることを証明している。
• すべての射影的表面上の横断的射影的foliationは、正規交差形の極除集合を持つリッカティfoliationに双有理同値であり、局所モデルは5種類に分類される：Log$^{\mathbb{G}_m}$、Log$^{\mathbb{G}_a}$、Irreg 0、Irreg、および Irreg$^{\text{ram}}$。
• 適切な分岐被覆を施すと、不規則除集合は一様な不規則性インデックス $ k $ を得るため、Irreg$^{\text{ram}}$ モデルの必要性がなくなる。
• メラモーフィックゲージ還元は、極除集合の既約成分に沿ってグローバルに実行可能であり、問題を局所的バイホロモーフィック自明化に還元する。
• 分岐被覆（変数 $ x $ や $ y $ に関して）において、分類は安定であり、モデルはその変換のもとで保存される。
• 構造定理により、双有理変換と標準的リッカティ形式への還元を通じて、横断的射影的foliationの完全な正規形が得られる。