[論文レビュー] Representations of surface groups in real symplectic groups

Oscar Garcı́a-Prada, Peter B. Gothen+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2008

Advanced Algebra and Geometry被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Sp(2n,R) における曲面群表現のモジュライ空間を研究し、トーラル・インバリアントが最大値に達する最大表現に注目する。非アーベルホッジ理論を用いて、モジュライ空間を多項的安定なSp(2n,R)-ヒッグス束のモジュライ空間と同定し、GL(n,R) のためのねじれヒッグス束との関係を通じて、新たな離散的不変量を導入する。最終的に、最大表現のモジュライ空間の連結成分の数を数える。

ABSTRACT

In this paper we study the moduli space of representations of a surface group (i.e., the fundamental group of a closed oriented surface) in the real symplectic group Sp(2n,R). The moduli space is partitioned by an integer invariant, called the Toledo invariant. This invariant is bounded by a Milnor-Wood type inequality. Our main result is a count of the number of connected components of the moduli space of maximal representations, i.e. representations with maximal Toledo invariant. Our approach uses the non-abelian Hodge theory correspondence proved in a companion paper arXiv:0909.4487 [math.DG] to identify the space of representations with the moduli space of polystable Sp(2n,R)-Higgs bundles. A key step is provided by the discovery of new discrete invariants of maximal representations. These new invariants arise from an identification, in the maximal case, of the moduli space of Sp(2n,R)-Higgs bundles with a moduli space of twisted Higgs bundles for the group GL(n,R).

研究の動機と目的

• 実シンプレクティック群 Sp(2n,R) における曲面群表現のモジュライ空間の位相的構造を理解すること。
• トーラル・インバリアントの上界に達する最大表現——つまり、ミルナー＝ウッド不等式による上界に達する表現——を、幾何学的および表現論的道具を用いて分析すること。
• トーラル・インバリアントを超える、最大表現を分類する新たな離散的不変量を同定すること。
• 最大の場合に、Sp(2n,R)-ヒッグス束とGL(n,R) のためのねじれヒッグス束との間の対応を確立すること。
• この対応を用いて、最大表現のモジュライ空間の連結成分の数を計算すること。

提案手法

• 非アーベルホッジ理論を用いて、表現のモジュライ空間を多項的安定なSp(2n,R)-ヒッグス束のモジュライ空間と同定する。
• トーラル・インバリアントを、モジュライ空間を分割する主要な不変量として用いる。最大表現はミルナー＝ウッド不等式による上界に達する。
• 幾何的構成を用いて、最大のSp(2n,R)-ヒッグス束とGL(n,R) のためのねじれヒッグス束との間の対応を確立する。
• ねじれヒッグス束対応の構造を活用して、最大表現に対する新たな離散的不変量を定義する。
• 代数幾何学およびヒッグス束理論の技術を用いて、モジュライ空間の連結成分を分析する。
• GL(n,R) のためのねじれヒッグス束のモジュライ空間が位相的によりよく理解されているという事実を活用し、連結成分の数え上げを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲面群がSp(2n,R) に写像する最大表現のモジュライ空間は、いくつの連結成分を持つのか？
• RQ2 トーラル・インバリアントを超える文脈で、最大Sp(2n,R)-表現において新たに生じる離散的不変量は何か？
• RQ3 最大の場合に、Sp(2n,R)-ヒッグス束のモジュライ空間は、GL(n,R) のためのねじれヒッグス束のモジュライ空間とどのように関係するか？
• RQ4 非アーベルホッジ理論は、最大表現を分類する上で果たす役割は何か？
• RQ5 ヒッグス束のモジュライ空間の構造は、表現空間の位相にどのように反映されるか？

主な発見

• 曲面群がSp(2n,R) に写像する最大表現のモジュライ空間は、有限個の連結成分を持つことが示された。
• 著者らは、Sp(2n,R)-ヒッグス束とGL(n,R) のためのねじれヒッグス束との関係を用いて、最大表現に対する新たな離散的不変量を同定した。
• 最大の場合に、Sp(2n,R)-ヒッグス束のモジュライ空間は、自然にGL(n,R) のためのねじれヒッグス束のモジュライ空間と同一視される。
• この同一視により、GL(n,R)-ねじれヒッグス束モジュライの既知の位相的不変量を用いて、連結成分の数を計算できるようになった。
• 連結成分の数は、ねじれヒッグス束モジュライの構造に依存し、その構造はねじれの次数や安定性条件といった離散的不変量によって支配される。
• この結果により、最大表現のモジュライ空間の連結成分が、GL(n,R)-ねじれヒッグス束の図像から生じる特定の離散的不変量と一対一対応することが確認された。