[論文レビュー] Representations of the braid group B_3 and of SL(2,Z)

Imre Tuba, Hans Wenzl|ArXiv.org|Dec 2, 1999

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、代数的に閉じた体上の次元5以下のブラッド群 $B_3$ および $SL(2,\mathbb{Z})$ の単純な表現を完全に分類し、生成子行列 $A$ の固有値と中心的元 $(\sigma_1\sigma_2)^3$ の作用するスカラー $\delta$ を用いて、このような表現が同値を除いて一意に決定されることを示している。主な貢献は、可約性の明示的多項式条件と、例外的リー代数に関連する braided なテンソルカテゴリにおけるカテゴリカル次元の計算への応用である。

ABSTRACT

We give a complete classification of simple representations of the braid group B_3 with dimension $\leq 5$ over any algebraically closed f ield. In particular, we prove that a simple d-dimensional representation $ρ: B_3 o GL(V)$ is determined up to isomorphism by the eigenvalues $λ_1, λ_2, ..., λ_d$ of the image of the generators for d=2,3 and a choice of a $δ=\sqrt{\det ρ(σ_1)}$ for d=4 or a choice of $δ=\sqrt[5]{\det ρ(σ_1)}$ for d=5. We also s howed that such representations exist whenever the eigenvalues and $δ$ are not roots of certain polynomials $Q_{ij}^{(d)}$, which are explicitly given. In this case, we construct the matrices via which the generators act on V. As an application of our techniques, we also obtain nontrivial q-versions of some of Deligne's formulas for dimensions of representations of exceptional Lie groups.

研究の動機と目的

• 代数的に閉じた体の任意の特性を持つ次元 $d \leq 5$ におけるブラッド群 $B_3$ および $SL(2,\mathbb{Z})$ のすべての単純表現を分類すること。
• 生成子行列 $A$ の固有値と中心的元 $(\sigma_1\sigma_2)^3$ の作用するスカラー $\delta$ を用いて、このような表現が可約でない（可約でない）ための明確な条件を同定すること。
• 分類を用いて、デリーニの予想される例外的リー代数の系列に関連する braided なテンソルカテゴリにおける対象のカテゴリカル次元を計算すること。
• braided カテゴリにおける随伴表現のテンソル冪の次元を一様な公式で記述すること、そのために明示的なブラッド表現データを用いること。

提案手法

• 生成子 $\sigma_1$ と $\sigma_2$ を表す行列 $A$ と $B$ に対して三角行列形を仮定し、ブラッド関係式を $BA$ の行列係数に関する制約に還元する。
• 行列 $A$ の固有値と $\delta = \det(A)^{6/d}$ を用いて表現をパrameter化し、$d \leq 5$ の場合に、これらの不変量が同値を除いて表現を一意に決定することを示す。
• ブラッド関係式と行列制約の構造を用いて、表現が単純でないときに正確に消失する固有値と $\delta$ に関する明示的多項式を導出する。
• 分類を用いて、中心的元 $(c_1c_2)^3$ の作用とブレーディング作用素 $c_1$ の行列式を分析することで、braided なテンソルカテゴリにおけるカテゴリカル次元を計算する。
• 量子群理論とカシミール作用素を用いて、$\mathfrak{g}^{\bigotimes 2}$ 上のブレーディング作用素の固有値をパラメータ $s$ と $t$ に関連づけ、$s$-deformed な次元公式を導出する。
• $B_3$ が $PSL(2,\mathbb{Z})$ 上に全射であり、中心がスカラー $\delta$ で作用することを活用し、正規化を用いて $PSL(2,\mathbb{Z})$ の表現を定義できるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $d \leq 5$ の場合、$A$ の固有値とスカラー $\delta$ にどのような条件を課すと、$B_3$ の表現が単純になるか？
• RQ2 $B_3$ の表現の分類を、半単純リー群のグロテンディーク半環と同型な braided なテンソルカテゴリにおけるカテゴリカル次元の計算にどう応用できるか？
• RQ3 ブラッド表現から導かれる明示的な $s$-deformed な次元公式は、例外的リー代数カテゴリにおける随伴表現およびそのテンソル冪に対してどのように得られるか？
• RQ4 量子群の設定において、$\mathfrak{g}^\bigotimes 2$ 上のブレーディング作用素の固有値はパラメータ $s$ と $t$ とどのように関係するか？

主な発見

• $d \leq 3$ の場合、$B_3$-表現が単純であるならば、$\sigma_1$ を表す行列 $A$ の固有値によって一意に決定される。
• $d \leq 5$ の場合、$B_3$-表現が単純であるならば、$A$ の固有値と中心的元 $(\sigma_1\sigma_2)^3$ の作用するスカラー $\delta$ によって同値を除いて完全に決定される。
• 可約表現が存在するのは、固有値と $\delta$ が命題2.8および2.10–2.11節に明示的に列挙された多項式を零としない場合に限る。
• 本稿では、例外的リー代数カテゴリにおける随伴表現およびその第二テンソル冪の $q$-deformed な次元を与える明示的有理関数を $s$ と $t$ の関数として導出しており、デリーニの古典的公式を一般化している。
• 5次元表現 $\mathrm{Hom}(\mathfrak{g}, \mathfrak{g}^{\otimes 3})$ に対して、$(c_1c_2)^3$ の作用から $\delta = s^{12}$ を計算し、$c_1$ の行列式は $s^{10}$ であり、これにより $\gamma = s^2$ が得られる。
• $\dim X_2$、$\dim Y_2$、$\dim Y_2^*$ の公式は、$[n] = s^n - s^{-n}$ と $[\lambda + n] = t^{1/2}s^n - t^{-1/2}s^{-n}$ の有理関数として与えられ、古典的次元公式の $s$-deformation を得る。