[論文レビュー] Representations of the Heisenberg algebra on holomorphic functions and Krein structures

M. N. Mnatsakanova, G. Morchio+2 more|Nov 14, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ヘイゼンベルク代数および不確定計量を伴うCCR代数の正則なホロモーフィッククレイン空間表現を、ヘイゼンベルク代数とホロモーフィック作用素の*-代数との間の同型を用いて分類する。正則表現（ゲージ変換がクレイン等長写像の連続的U(1)群によって実装されるもの）は、フォック／反フォック構造とスペクトル条件によって定義される内積を伴うバーグマン型またはシュレーディンガー型のホロモーフィック表現の直和に同値であることを示す。

ABSTRACT

Representations of CCR algebras in spaces of entire functions are classified on the basis of isomorphisms between the Heisenberg CCR algebra A_H and star algebras of holomorphic operators. To each representations of such algebras, satisfying a regularity and a reality condition, one can associate isomorphisms and inner products so that they become Krein star representations of A_H, with the gauge transformations implemented by a continuous U(1) group of Krein isometries. Conversely, any holomorphic Krein representation of A_H, having the gauge transformations implemented as before and no null subrepresentation, is shown to be contained in a direct sum of the above representations. The analysis is extended to infinite dimensional CCR algebras, under a spectral condition for the implementers of the gauge transformations.

研究の動機と目的

• 不確定計量の設定に一般化されたフォック＝バーグマン＝セーガル（FBS）フレームワークを適用して、クレイン空間におけるヘイゼンベルク代数のホロモーフィック表現を分類すること。
• 混合統計（$\eta_i = \pm 1$）を伴うCCR代数、特に無限次元の場合を含めた分類を拡張すること。
• ゲージ変換がクレイン等長写像の連続的U(1)群によって実装可能であるための条件を確立すること。
• 実装者にスペクトル条件を課したすべての正則クレイン表現が、バーグマン型またはシュレーディンガー型のホロモーフィック表現の直和に含まれることを示すこと。
• ホロモーフィック作用素代数から導かれる同型および内積を用いて、完全な非可約正則クレイン表現の分類を提供すること。

提案手法

• ヘイゼンベルク代数 $\mathcal{A}_H$ とホロモーフィック作用素の*-代数 $\mathcal{A}^K$ の間の同型 $\sigma$ を、コンjugation $K$ を通じて特徴づけ、異なる同型を関連付けるために $SL(2,\mathbb{C})$ 内の自己同型を用いる。
• ヘイゼンベルク代数の表現において、$SL(2,\mathbb{C})$ の $U(1)$ 部分群が実装可能であるという正則性条件を課し、2つの標準的ケース（バーグマン：$z \to e^{is}z$, $\partial_z \to e^{-is}\partial_z$；シュレーディンガー：$z \pm \partial_z \to e^{\mp is}(z \pm \partial_z)$）が得られる。
• 実数性条件を満たす各非可約表現に対して、クレイン内積を関連付けることで、連続的U(1)ゲージ対称性を備えた $\mathcal{A}_H$ のクレイン*-表現に変換する。
• 実装者 $U(s)$ にスペクトル条件を課す——$\langle f, U(s)g\rangle$ が上半平面で有界な正則関数に拡張可能——ことで、非負の周波数成分のみを含み、零周波数または負周波数成分を除外する。
• ゲージ生成子 $N = \sum \eta_i a_i^* a_i$ 及びそのスペクトル性質を分析することにより、$[a_i, a_j^*] = \delta_{ij}\eta_i$, $\eta_i = \pm 1$ を満たす $M$ 次元CCR代数に分類を拡張する。
• 任意の正則クレイン表現が、$\pi = \pi_H \circ \rho$ の形の表現の直和に含まれることを証明する。ここで $\pi_H$ は $M$ 個の複素変数の多項式上の巡回的フォック／反フォック型表現である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則性および実数性条件の下で、クレイン空間におけるヘイゼンベルク代数のホロモーフィック表現はどのように分類可能か？
• RQ2 ホロモーフィック表現において、ゲージ変換が連続的U(1)群のクレイン等長写像によって実装可能であるための条件は何か？
• RQ3 $\eta_i = \pm 1$ を伴う不確定計量設定へのバーグマン型およびシュレーディンガー型のヘイゼンベルク代数の実装は、どのように一般化されるか？
• RQ4 実装者 $U(s)$ に課されたスペクトル条件が、数演算子のスペクトルを制限し、安定性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 すべての正則クレイン表現 $\mathcal{A}_H(\eta)$ は、フォック／反フォック内積を伴うホロモーフィック表現の直和に埋め込めるか？

主な発見

• 連続的U(1)ゲージ対称性を備えた正則ホロモーフィッククレイン表現は、すべてバーグマン型またはシュレーディンガー型の表現の直和に同値である。
• 複素変数 $M$ 個の多項式空間上の内積は、非ゼロ定数因子を除き一意に定まり、行列要素は $\langle z^{n_i}, z^{m_i} \rangle = n_i! \, (-1)^{n_i(1 - \eta_i)/2} \delta_{n_i, m_i}$ で与えられる。
• $\eta_i = 1$ の場合、表現は標準フォック空間に還元され、$\eta_i = -1$ の場合、反フォック空間となる。全体として、クレイン空間の分解が形成される。
• $U(s)$ に課されたスペクトル条件により、非負周波数成分のみが現れ、零周波数または負周波数成分を含む部分表現が除外される。
• 実装者のスペクトル条件が成り立つ限り、無限次元CCR代数（$M = \infty$）に対しても分類が拡張可能である。
• 実装者にスペクトル条件を課した任意の正則クレイン表現 $\mathcal{A}_H(\eta)$ は、$\pi = \pi_H \circ \rho$ の形のホロモーフィック表現とクレイン同値である。ここで $\pi_H$ は $M$ 変数多項式上の巡回的フォック／反フォック表現である。