[論文レビュー] Representations of the inverse hull of a 0-left cancellative semigroup

R. Exel, Benjamin Steinberg|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、0左消去可能半群の逆ヒルを導入し、その冪等元半束のスペクトルについて、超文字とタイト文字に焦点を当てた詳細な分析を提供する。ストリングスの概念を用い、最小公倍数を仮定することで、開超文字を開で、準最大なストリングスによって特徴づけ、残りの超文字を双対作用の像として特定し、このような半群と関連するC*-代数を研究するための基盤的枠組みを提供する。

ABSTRACT

A semigroup S containing a zero element is said to be 0-left cancellative if st = sr eq 0 implies that t = r. Given such an S we build an inverse semigroup H(S), called the inverse hull of S. Motivated by the study of certain C*-algebras associated to H(S) (a task that we will address in a subsequent article) we carry out a detailed analysis of the spectrum of the idempotent semilattice E(S) of H(S) with a special interest in identifying the ultra-characters. In order to produce examples of characters on E(S), we introduce the notion of "strings" in a semigroup, attempting to make sense of the "infinite paths" which are fundamental in the study of graph C*-algebras. Our strongest results are obtained under the assumption that S admits "least common multiples", but we also touch upon the notion of "finite alignment", motivated by the corresponding notion from the theory of higher rank graphs, and which has also appeared in recent papers by Spielberg and collaborators.

研究の動機と目的

• 0左消去可能半群の逆ヒルの体系的かつ包括的な理解を図ること、特にその冪等元半束とスペクトルに焦点を当てる。
• 逆ヒルの半束における超文字とタイト文字を特定・特徴づけること。
• グラフC*-代数における無限パスの概念を、抽象的半群における「ストリングス」の導入により一般化すること。
• 最小公倍数の仮定の下で、超文字の構造的記述を確立すること。
• 0左消去可能半群の逆ヒルからタイト群作用素とC*-代数を構成するための基盤を築くこと。

提案手法

• 0左消去可能半群 S の逆ヒル H(S) を、古典的逆ヒル構成を一般化した逆半群として構成する。
• 冪等元半束 E(S) を S\{0} の冪集合の部分半束として表現し、『構成可能集合』を重要な対象として特定する。
• S 内の「ストリングス」の概念を導入し、無限パスの役割を一般化する。
• 「開で、準最大なストリングス」を定義し、写像 φσ を通じて開超文字をパラメトライズすることを示す。
• 文字に対する双対作用 θ̂u を用いて、非開超文字を、F_u の基本超文字の像として記述する。
• 文字とイデアルの双対性を応用し、タイトスペクトルおよび逆半群表現に関する既知の結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 0左消去可能半群 S に対して、その逆ヒル H(S) の冪等元半束 E(S) のスペクトルはどのように記述できるか？
• RQ2 E(S) 上の超文字と S 内の無限パスまたはストリングスとの間の明確な関係は何か？
• RQ3 逆ヒル H(S) が、特にタイト文字と超文字の観点から、良好に整った文字スペクトルを有するための条件は何か？
• RQ4 S 内の最小公倍数および有限整合性の概念が、E(S) 及びそのスペクトルの構造に与える影響は何か？
• RQ5 文字に対する双対作用 θ̂u を用いて、E(S) 上のすべての超文字を完全に分類できるか？

主な発見

• E(S) 上のすべての開超文字は、S 内の開で、準最大なストリングスによってパラメトライズされ、φσ はそのストリングス σ に対応する文字である。
• 開超文字の集合は、ちょうど {φσ : σ は S 内の開で、準最大なストリングス} に一致する。
• E(S) 上のすべての超文字は、開超文字（開で、準最大なストリングスによってパラメトライズされる）または、F_u のスペクトル内の基本超文字の双対作用 θ̂u による像である。
• 残りの超文字は {θ̂u(φ) : u ∈ S̃, φ は F̂_u 内の基本超文字} で与えられる。
• H(S) の双対表現は超文字の集合を保存するため、φ が超文字であることと、θ̂u(φ) が超文字であることは同値である。
• E(S) のタイトスペクトルは超文字の集合の閉包であるため、タイトスペクトルを記述するには超文字を理解することが不可欠である。