[論文レビュー] Representations of the parafermion vertex operator algebras

Chongying Dong, Li Ren|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、任意の有限次元単純リー代数 $\mathfrak{g}$ および正の整数 $k$ に対して、パラフェルミオン頂点 operator 代数 $K(\mathfrak{g},k)$ の有理性を確立し、そのすべての既約モジュールが、レベル $k$ におけるアフィンカク＝ムーディ代数 $\widehat{\mathfrak{g}}$ の可積分最高ウェイトモジュールから生じることを完全に分類する。証明は最近のアーベル型オルビフォールドおよびコセット構成に関する結果を活用し、$L_{\widehat{\mathfrak{g}}}(k,0)$ における補数としての実現によって、$K(\mathfrak{g},k)$ が有理的かつ $C_2$-cofinite であることを示している。

ABSTRACT

The rationality of the parafermion vertex operator algebra associated to any finite dimensional simple Lie algebra and any nonnegative integer is established and the irreducible modules are determined.

研究の動機と目的

• 任意の有限次元単純リー代数 $\mathfrak{g}$ および正の整数 $k$ に対して、パラフェルミオン頂点 operator 代数 $K(\mathfrak{g},k)$ の有理的性を確立すること。
• すべての既約 $K(\mathfrak{g},k)$-モジュールを特定し、それらがレベル $k$ における $\widehat{\mathfrak{g}}$ の可積分最高ウェイトモジュール内にどのように構造化されているかを同定すること。
• コセット構成理論における長年の予想を解決すること：有理的 VOA 内の有理的頂点 operator 部分代数の補数は有理的であることを証明すること。
• Weyl群作用を介して得られる新しい同型を含め、すべての既約 $K(\mathfrak{g},k)$-モジュールを同型を除いて完全に同定すること。

提案手法

• コセット構成を用いる：$K(\mathfrak{g},k)$ は、単純アフィン VOA $L_{\widehat{\mathfrak{g}}}(k,0)$ 内のヘイゼンベルク部分代数 $M_{\widehat{\mathfrak{h}}}(k)$ の補数である。
• 最近のアーベル型オルビフォールドに関する結果を適用し、$V_{\sqrt{k}Q_L} \otimes K(\mathfrak{g},k)$ が有理的であることを示す。ここで $Q_L$ は長根の根格子を表す。
• $V_{\sqrt{k}Q_L}$ が有理的かつ $C_2$-cofinite であることを利用して、有限アーベル群 $G$ に対して $L_{\widehat{\mathfrak{g}}}(k,0)^G = V_{\sqrt{k}Q_L} \otimes K(\mathfrak{g},k)$ という分解から、$K(\mathfrak{g},k)$ の有理的性を導出する。
• 文献[31]のコセット定理を適用し、任意の既約 $K(\mathfrak{g},k)$-モジュールが、$\langle \Lambda, \theta \rangle \leq k$ を満たす支配的ウェイト $\Lambda$ に対する $L_{\widehat{\mathfrak{g}}}(k,\Lambda)$-モジュールに現れることを示す。
• Weyl反射によって誘導される自己同型を用いて、$a_i = 1$ のとき $M^{\Lambda,\lambda}$ と $M^{\Lambda^{(i)},\lambda + k\Lambda_i}$ の間に同型を確立する。
• 根格子 $Q_L$ によるシフト同型とは異なること、すなわち $B_l$ および $C_l$ 型において $\Lambda_i \notin Q_L$ であることを示すことによって、これらの同型が非自明であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限次元単純リー代数 $\mathfrak{g}$ および正の整数 $k$ に対して、パラフェルミオン頂点 operator 代数 $K(\mathfrak{g},k)$ は有理的か？
• RQ2 どの既約モジュールが $K(\mathfrak{g},k)$ に現れるか？ それらはレベル $k$ における $\widehat{\mathfrak{g}}$ の可積分最高ウェイトモジュールとどのように関係しているか？
• RQ3 根格子 $Q_L$ によって誘導されるものとは異なる、既約 $K(\mathfrak{g},k)$-モジュール間の新しい同型は存在するか？
• RQ4 アフィンリー代数および頂点 operator 代数の表現論的技法を用いて、$K(\mathfrak{g},k)$-モジュールの分類を完全に行うことができるか？

主な発見

• パラフェルミオン頂点 operator 代数 $K(\mathfrak{g},k)$ は、任意の有限次元単純リー代数 $\mathfrak{g}$ および正の整数 $k$ に対して有理的であり、コセット構成理論における長年の予想を確認した。
• すべての既約 $K(\mathfrak{g},k)$-モジュールは、$\langle \Lambda, \theta \rangle \leq k$ を満たす支配的ウェイト $\Lambda$ に対する可積分最高ウェイトモジュール $L_{\widehat{\mathfrak{g}}}(k,\Lambda)$ の部分モジュールとして生じる。ここで $\theta$ は最大根である。
• 任意の $\beta \in Q_L$ に対して、既約 $K(\mathfrak{g},k)$-モジュール $M^{\Lambda,\lambda}$ と $M^{\Lambda,\lambda + k\beta}$ は同型である。これは長根の根格子の作用を反映している。
• 新しい同型が存在する：各 $i$ に対して $a_i = 1$ ならば $M^{\Lambda,\lambda} \cong M^{\Lambda^{(i)},\lambda + k\Lambda_i}$ であり、これは $Q_L$-シフト同型とは異なる。
• 同型 $M^{\Lambda,\lambda} \cong M^{\Lambda^{(i)},\lambda + k\Lambda_i}$ は非自明である。これは、$B_l$ および $C_l$ 型において $\Lambda_i \notin Q_L$ であることが明示的な根系計算によって確認されたからである。
• 既約 $K(\mathfrak{g},k)$-モジュールの分類は同型を除いて完全であり、同型類の同定は Weyl群作用および根格子構造によって完全に特徴づけられている。