[論文レビュー] Representations of the ultrahyperbolic BMS group HB.II. Determination of the representations induced from infinite little groups

Evangelos Melas|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、超双曲的BMS群HBのユニタリな無限小群から誘導される既約表現（IRs）を同定する。Wigner–Mackeyの誘導法を用い、L²(P,λ,R)の双対空間における関数型の安定化部分群（小群）を分析することで、小群がコンパクトでかつ不変測度条件を満たす場合、誘導表現がユニタリかつ既約になることを示し、軌道はR⁴×S¹に位相的に同相であることを示す。

ABSTRACT

The ordinary Bondi-Metzner-Sachs (BMS) group B is the common asymptotic symmetry group of all asymptotically flat Lorentzian space-times. As such, B is the best candidate for the universal symmetry group of General Relativity. However, in studying quantum gravity, space-times with signatures other than the usual Lorentzian one, and complex space-times, are frequently considered. Generalisations of B appropriate to these other signatures have been defined earlier. In particular, the generalisation HB, a BMS group appropriate to the ultrahyperbolic signature (+,+,-,-), has been defined in a previous paper where it was shown that all the strongly continuous unitary irreducible representations (IRs) of HB can be obtained with the Wigner-Mackey's inducing method and that all the little groups of HB are compact. Here we describe in detail all the infinite little groups of HB and we find the IRs of HB induced by them.

研究の動機と目的

• 超双曲的BMS群HBの無限小群から誘導されるすべてのユニタリ既約表現（IRs）を分類すること。
• L²(P,λ,R)の双対空間における関数型の安定化部分群としての小群Lϕの構造を特徴づけること。
• 随伴表現の行列式条件を用いて、軌道G/Lϕ上にHB不変測度の存在と一意性を確立すること。
• Mackeyの誘導構成に必要な条件を満たすことで、誘導表現がユニタリかつ既約であることを示すこと。
• 双対作用T′の軌道の位相的構造を特定し、それがR⁴×S¹に位相的に同型であることを示すこと。

提案手法

• 論文はWigner–Mackeyの誘導法を用いて、HBの小群Lϕのユニタリ表現からHBのIRsを構成する。
• G×GによるL²(P,λ,R)の双対空間への双対作用T′を定義し、k_g(x)、s_g(x)および射影直線上の分数線形作用を含む明示的な変換則を提示する。
• 小群Lϕは関数型ϕの双対作用T′における安定化部分群として定義され、閉かつコンパクトな部分群であることが示される。
• G不変測度が軌道G/Lϕ上に存在することは、h ∈ H = Lϕに対して|det Ad_G(ε)| = 1および|det Ad_H(ε)| = 1を満たすことで確認される。
• SL(2,R)における極分解g = κuを用いて軌道の位相的構造を解析し、それがR⁴×S¹に位相的に同型であることを示す。
• 表現論の定理（例：[19], p.369）を適用し、G/Lϕ上に定数倍を除いて一意なG不変測度が存在することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超双曲的BMS群HBの無限小群Lϕの構造は何か？
• RQ2 これらの無限小群からどのようにしてHBのユニタリ既約表現を誘導できるか？
• RQ3 軌道G/Lϕ上にG不変測度が存在するための条件は何か？
• RQ4 双対空間L²(P,λ,R)の双対作用T′の軌道の位相的型は何か？
• RQ5 無限小群から誘導される表現は、HBの全ユニタリ双対とどのように関係するか？

主な発見

• 超双曲的BMS群HBのすべてのユニタリ既約表現は、Wigner–Mackey法により無限小群から誘導されることが示された。
• 小群Lϕはコンパクトかつアーベルであり、T′(g,h)ϕ = ϕという安定化条件によってその構造が特定される。
• すべてのε ∈ Lϕに対して|det Ad_G(ε)| = 1および|det Ad_H(ε)| = 1を満たすことで、各軌道G/Lϕ上に一意なG不変測度が保証される。
• 双対作用T′の軌道は、SL(2,R)の極分解と小群の位相的構造から、R⁴×S¹に位相的に同型であることが導かれる。
• 誘導表現はユニタリかつ既約であり、p₀とq₀が互いに素であれば、軌道上の測度は(1/2π)dθとして正規化される。
• この構成により、HBのすべての強連続ユニタリIRsがこの誘導手続きによって得られることを確認し、この設定におけるユニタリ双対の分類が完成した。