[論文レビュー] Representations up to homotopy and Bott's spectral sequence for Lie groupoids

Camilo Arias Abad, Marius Crainic|ArXiv.org|Nov 15, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ホモトピー的整合性を含む一般化された群コアの概念を導入し、Lie群コアの表現概念を高次ホモトピー的整合性を含む形で一般化する。この枠組みを用いて、Lie群に対してBottが導いたスペクトル系列を一般のLie群コアへ拡張する。主な貢献は、随伴表現が自然にホモトピー的表現として定義可能であることを証明し、群コアのナーヴの微分形式の二重複体を用いて、その分類空間のコホモロジーへ収束するスペクトル系列を構成することにある。

ABSTRACT

This belongs to a series of papers devoted to the study of the cohomology of classifying spaces of Lie groupoids. Our aim here is to introduce and study the notion of representation up to homotopy of Lie groupoids, the resulting derived category, and to show that the adjoint representation is well defined as a representation up to homotopy. As an application, we extend Bott's spectral sequence converging to the cohomology of classifying spaces from Lie groups to Lie groupoids.

研究の動機と目的

• 特異的かつ柔軟な構造を扱えるホモトピー的一般化された群コア表現の開発。
• Lie群コアの随伴表現が自然にホモトピー的表現として定義可能であることを示し、理論における基礎的ギャップを解消すること。
• 元々Lie群に対して導入されたBottのスペクトル系列を、より広いLie群コアの文脈へ拡張し、その分類空間のコホモロジー計算を可能にすること。
• ホモトピー的表現の導来圏枠組みを確立し、Lie群コアの高次代数的不変量を捉えること。
• 群コアのナーヴにおける微分形式の二重複体を構成し、その分類空間のコホモロジーへ収束するスペクトル系列を導くこと。

提案手法

• Lie群コアの作用がベクトルバンドルのコチェーン複体上にあり、結合則が一貫したホモトピー的同値性の下で成り立つホモトピー的表現として、表現を定義する。
• 作用の厳密な結合則の破れを測る構造作用素（曲率）を定義し、高次ホモトピーを介して一貫性を保証する。
• 群コアの接バンドルおよびAtiyah代数のデータから構成される構造作用素を用いて、Lie群コアの随伴表現が自然にホモトピー的表現を形成することを証明する。
• 自由G-多様体P(m) = G^{m+1}を用いた、底多様体の単体的解体を構成する。
• 微分形式の複体上の水平微分作用素♭*を、面写像の交錯和として定義し、(♭*)² = 0を示し、収縮ホモトピーが存在することを示す。
• 得られた複体を、垂直微分作用素D（ホモトピー的表現から来る）と水平微分作用素♭*をもつ二重複体にまとめ、両行と両列が正則であることを証明し、それにより全コホモロジーが同型なコホモロジーをもつことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群コアの随伴表現は、その作用における厳密な結合則の欠如にもかかわらず、自然にホモトピー的表現として定義可能か？
• RQ2 元々Lie群に対して導入されたBottのスペクトル系列は、そのナーヴにおけるコホモロジー的構造を用いて、どのようにLie群コアへ一般化可能か？
• RQ3 ホモトピー的表現は、Lie群コアの分類空間のコホモロジーをどのように捉えているか？
• RQ4 ホモトピー的表現の構造作用素は、グローバルな群コアの文脈において、曲率とホモトピー的整合性をどのように符号化しているか？
• RQ5 Lie群コアのナーヴに、Bottの公式を実現し、収束するスペクトル系列を導く二重複体構造が存在するか？

主な発見

• Lie群コアの随伴表現は、群コアの接バンドルおよびAtiyah代数のデータから導かれる構造作用素を用いて、自然にホモトピー的表現として定義可能である。
• Lie群コアのナーヴにおける微分形式の二重複体の水平コホモロジーは、対称冪の随伴表現への係数をもつ微分可能コホモロジーと同型である。
• 二重複体に付随するスペクトル系列は、Lie群コアの分類空間のコホモロジーへ収束し、Lie群に対するBottの結果を一般化する。
• 単体的解体に沿った複体C(G(m); Sq(Ad*))は正則であり、零番目の面写像σ₀*が収縮ホモトピーを定める。
• 二重複体の両行と両列はコオーグメント付きで正則であり、全コホモロジーが垂直または水平包含により分類空間のコホモロジーと同型であることを示す。
• 構成はファンクター的である：G-等長写像に沿った引き戻しは、複体間のチェーン写像を誘導し、スペクトル系列の構造を保存する。