[論文レビュー] Representative sets and irrelevant vertices: New tools for kernelization

Stefan Kratsch, Magnus Wahlström|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、マトロイド理論における代表的集合の新しい応用を提示し、パラメータ化計算複雑性における基本的問題に対する多項式カーネル化を達成する。ロヴァーズとマルクスの代表的集合補題を活用することで、著者らはグラフカット問題における無関係な頂点を特定する手法を開発し、Almost 2-SAT に対しては初めての多項式カーネルを得るとともに、s 個の端点をもつ Multiway Cut に対しては O(ks+1) のカーネルサイズを達成した。これは、NP 困難問題に対するカーネル化技術の顕著な前進である。

ABSTRACT

The existence of a polynomial kernel for Odd Cycle Transversal was a notorious open problem in parameterized complexity. Recently, this was settled by the present authors (Kratsch and Wahlström, SODA 2012), with a randomized polynomial kernel for the problem, using matroid theory to encode flow questions over a set of terminals in size polynomial in the number of terminals. In the current work we further establish the usefulness of matroid theory to kernelization by showing applications of a result on representative sets due to Lovász (Combinatorial Surveys 1977) and Marx (TCS 2009). We show how representative sets can be used to give a polynomial kernel for the elusive Almost 2-SAT problem. We further apply the representative sets tool to the problem of finding irrelevant vertices in graph cut problems, i.e., vertices which can be made undeletable without affecting the status of the problem. This gives the first significant progress towards a polynomial kernel for the Multiway Cut problem; in particular, we get a kernel of O(k^{s+1}) vertices for Multiway Cut instances with at most s terminals. Both these kernelization results have significant spin-off effects, producing the first polynomial kernels for a range of related problems. More generally, the irrelevant vertex results have implications for covering min-cuts in graphs. For a directed graph G=(V,E) and sets S, T \subseteq V, let r be the size of a minimum (S,T)-vertex cut (which may intersect S and T). We can find a set Z \subseteq V of size O(|S|*|T|*r) which contains a minimum (A,B)-vertex cut for every A \subseteq S, B \subseteq T. Similarly, for an undirected graph G=(V,E), a set of terminals X \subseteq V, and a constant s, we can find a set Z\subseteq V of size O(|X|^{s+1}) which contains a minimum multiway cut for any partition of X into at most s pairwise disjoint subsets.

研究の動機と目的

• Almost 2-SAT 問題における多項式カーネル化という長年の未解決問題を解消すること。
• グラフカット問題における無関係な頂点を特定する新しい手法を開発し、効率的なカーネル化を可能にすること。
• 特に代表的集合を含むマトロイド理論的ツールのカーネル化における適用範囲を拡張すること。
• 定数個の端点をもつ Multiway Cut に対して、初めての多項式カーネルを提供すること。
• すべての関連する端点の分割に対して最小の (A,B)-頂点カットおよびマルチウェイカットを含む小さなカットカバー集合を構築すること。

提案手法

• マトロイド理論における代表的集合補題（ロヴァーズおよびマルクス）を応用し、解に影響を与えないように無効化できない頂点を特定する。
• 複数のレイヤーにわたるガモイド構造を構築し、潜在的なカットの到達可能性および飽和条件を符号化する。
• トランスバーサルの代表的集合を用いて、すべての最小カットに含まれる必要がある本質的な頂点を効率的に捉える。
• ランダム化還元規則を設計し、任意の端点の分割が高々 s 個の部分集合に分けられる場合に、すべての最小マルチウェイカットを含む小さな頂点集合 Z を選ぶ。
• マトロイド表現および代表的集合に基づいた無関係な頂点の議論を、カーネル化プロセスとして形式化する。
• ランダム化構成の失敗確率を入力サイズ n に対して指数的に小さくする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マトロイド理論からの代表的集合を用いて、パラメータ化計算複雑性における NP 困難問題の多項式カーネルを構築することは可能か？
• RQ2 代表的集合を用いて、グラフカット問題における無関係な頂点を特定・削除し、カーネル化を可能にすることができるか？
• RQ3 この手法を用いて、Almost 2-SAT 問題に対して多項式カーネルを達成することは可能か？
• RQ4 すべての部分集合 A,B に対して最小の (A,B)-頂点カットを含む、小さな頂点集合を計算することは可能か？
• RQ5 同様の構成を用いて、端点が高々 s 個の部分集合に分割されるすべての最小マルチウェイカットをカバーできるか？

主な発見

• 本論文は、Almost 2-SAT 問題に対する初めての多項式カーネルを提示し、カーネル化分野における主要な未解決問題を解決した。
• s 個の端点をもつ Multiway Cut に対して、O(ks+1) のカーネルサイズが達成され、この問題における多項式カーネルへの初めての顕著な進展を示した。
• ランダム化された多項式時間アルゴリズムが開発され、任意の端点の分割が高々 s 個の互いに素な部分集合に分けられる場合に、すべての最小マルチウェイカットを含むサイズ O(|X|s+1) の集合 Z を計算可能である。
• 任意の有向グラフ G および V の部分集合 S,T に対して、サイズ O(|S|·|T|·r) の集合 Z がランダム化多項式時間で計算され、すべての A⊆S, B⊆T に対して最小の (A,B)-頂点カットを含む。
• 従来の Odd Cycle Transversal の場合に用いられた間接的圧縮ベースの手法とは異なり、本手法は還元規則に基づくカーネル化を可能にする。
• ランダム化構成の失敗確率は入力サイズ n に対して指数的に小さく、高い信頼性を保証する。