[論文レビュー] Representing a profinite group as the homeomorphism group of a continuum

Karl H. Hofmann, Sidney A. Morris|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意の与えられたプロフィニート単生成群 G に対して、そのホメオモルフィズム群 H(X) がコンパクト開位相に関して G に同型となる連続体 X の構成を提案する。G のカイリー図を剛体的リンク（例えば実数直線）で実現し、その後 Z-作用で商をとることで、そのホメオモルフィズム群が G に一致する1次元連続体を構成する。著者らは、既知の結果を、より広いクラスのプロフィニート群へと拡張するため、新しいトポロジカルグラフに基づく手法を用いる。

ABSTRACT

We contribute some information towards finding a general algorithm for constructing, for a given profinite group, $G$, a compact connected space, $X$, such that the full homeomorphism group, $H(X)$, with the compact-open topology is isomorphic to $G$ as a topological group. It is proposed that one should find a compact topological oriented graph $Γ$ such that $G\cong Aut(Γ)$. The replacement of the edges of $Γ$ by rigid continua should work as is exemplified in various instances where discrete graphs were used. It is shown here that the strategy can be implemented for profinite monothetic groups $G$.

研究の動機と目的

• 任意のプロフィニート単生成群 G に対して、H(X) ≅ G が位相群として成り立つような連続体 X を一般に構成する方法を開発すること。
• Gartside と Glyn の結果（任意の距離的プロフィニート群は、ある連続体 X に対して H(X) として現れる）を、非距離的プロフィニート単生成群へと拡張すること。
• コンパクト連結空間のホメオモルフィズム群が常にプロフィニート群であるかどうか、およびすべてのプロフィニート群がこのように現れるかどうかを検討すること。
• このような連続体を、プロフィニート群の圏および連続群準同型の圏において、標準的またはファンクター的な方法で構成できるかどうかを調査すること。
• 有向グラフの辺を剛体的連続体に置き換える戦略が、プロフィニート単生成群に対しても実装可能であることを確立すること。

提案手法

• 単一の生成元をもつプロフィニート単生成群 G のカイリー図として、トポロジカル有向グラフ Γ を構成する。
• 1次元の剛体的連続体であるリンク L = (R, 0, 1) を用い、Γ の各有向辺を置き換える。
• トポロジカル実現 |Γ|_L を、商空間 X = (G × |C(Z)|_R)/Z として定義する。ここで Z-作用は、カイリー図における群作用から誘導される。
• X がコンパクトで、連結で、1次元の連続体であることを示す。
• グラフ Γ の自己同型群が G に同型であり、その誘導作用により、ホメオモルフィズム群 H(X) が G に同型であることを証明する。
• 弧成分の構造と弧成分位相の普遍的リフト性を活用し、X のすべてのホメオモルフィズムが G の左乗法に由来することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のプロフィニート単生成群 G は、コンパクト開位相を備えた連続体 X のホメオモルフィズム群として実現可能か？
• RQ2 有向グラフの辺を剛体的連続体に置き換える戦略は、離散的状況からプロフィニート群へ一般化可能か？
• RQ3 1次元連続体のホメオモルフィズム群は必然的にプロフィニート群であるか？また、すべてのプロフィニート群がこのように現れるか？
• RQ4 この構成を、プロフィニート群および連続群準同型の圏において、標準的またはファンクター的なものにできるか？
• RQ5 この方法で得られる連続体の特徴を表すトポロジカルな性質（例：次元、弧成分）は何か？

主な発見

• 任意のプロフィニート単生成群 G に対して、H(X) ≅ G が位相群として成り立つ1次元連続体 X が存在する。
• 本構成により得られる連続体 X は、Gartside と Glyn の方法で得られるものとは位相的に異なるが、両者とも同じ群 G を実現する。
• X の弧成分は正確に軌道 Z_a = Z·(a × |C(Z)|_R)/Z であり、ホメオモルフィズムによって保存される。
• X のすべてのホメオモルフィズムは、G の要素による左乗法に由来するため、H(X) ≅ G が成り立つ。
• 本手法は、弧成分位相の普遍的リフト性に依存しており、これにより X の弧成分のホメオモルフィズムが、|C(Z)|_R に類似した普遍被覆空間へ一意に持ち上げられることを保証する。
• 結果として、コンパクト連結空間のホメオモルフィズム群がプロフィニート群であること、およびすべてのプロフィニート単生成群がこのような群として現れることを確認した。これは、コンパクト群がホメオモルフィズム群として特徴づけられるというより広い予想を支持する。