[論文レビュー] Reproducing kernel Hilbert spaces and Mercer theorem

Claudio Carmeli, Ernesto De Vito+1 more|ArXiv.org|Apr 5, 2005

Mathematical functions and polynomials参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、再生核ヒルベルト空間（RKHS）の要素が $p$-可積分関数または連続関数である場合の特徴付けを、再生核によって定義される積分作用素の有界性およびスペクトル的性質と結びつけることで確立する。主な貢献は、メルサーサービスの一般化であり、RKHS が $L^2(X,\mu) \cap \mathcal{C}(X)$ に連続的に埋め込まれるとき、核および空間構造が関連する積分作用素のスペクトル分解によって完全に決定されることを示している。

ABSTRACT

We characterize the reproducing kernel Hilbert spaces whose elements are $p$-integrable functions in terms of the boundedness of the integral operator whose kernel is the reproducing kernel. Moreover, for $p=2$ we show that the spectral decomposition of this integral operator gives a complete description of the reproducing kernel.

研究の動機と目的

• 再生核ヒルベルト空間（RKHS）で要素が $p$-可積分関数（$1 \leq p \leq \infty$）である場合を、関連する積分作用素の有界性を用いて特徴づけること。
• RKHS が $L^2$-関数からなる場合に、メルサーの定理を非コンパクトかつ台がコンパクトでない定義域へ拡張して、核のスペクトル分解を確立すること。
• ベクトル値写像 $\gamma: X \to \mathcal{H}$ の弱可測性、弱可積分性および正則性の関係、およびそれらに関連する核との関係を明確にすること。
• 評価作用素 $v \mapsto \langle v, \gamma(\cdot) \rangle_{\mathcal{H}}$ のコンパクト性および連続性の性質が $\gamma$ の正則性とどのように関係するかを調査すること。
• 標準的な関数解析的道具、特に $L^2$ への包含写像の極分解を用いて、古典的なRKHSの結果を自己完結的かつ初等的に証明すること。

提案手法

• 著者たちは、評価写像 $x \mapsto \gamma_x$ を通じて RKHS $\mathcal{H}$ を $X$ 上の関数空間に標準的に同一視し、$\gamma_x(y) = \Gamma(y,x)$ と定義し、核 $\Gamma$ を持つ積分作用素 $L_\Gamma$ を定義する。
• 弱 $p$-可積分性の特徴づけにペティス積分の理論を適用し、$L_\Gamma$ が $L^{p/(p-1)}(X,\mu)$ から $L^p(X,\mu)$ への作用素として有界であることと、$\gamma$ の弱 $p$-可積分性が同値であることを示す。
• 特に $p=1$ の場合、評価作用素 $v \mapsto \langle v, \gamma(\cdot) \rangle_{\mathcal{H}}$ が、測度 $\mu$ が非有限であっても $L^1(X,\mu)$ にコンパクトであることを証明し、ペティスの結果を拡張する。
• 包含写像 $W: \mathcal{H} \to L^2(X,\mu)$ の極分解を用いて、$L_\Gamma = W W^*$ のスペクトル的性質と $\mathcal{H}$ の構造との関係を結びつける。
• スペクトル分解の証明は、$\mathcal{H} \subset L^2(X,\mu) \cap \mathcal{C}(X)$ のとき $L_\Gamma$ が正規、自己随伴、トレースクラス作用素であるという事実に依拠し、そのスペクトル分解により核展開 $\Gamma(x,y) = \sum_n \lambda_n \phi_n(x) \overline{\phi_n(y)}$ が得られる。
• 著者たちは、$\mathcal{H}$ がちょうど $\sum_n \frac{1}{\lambda_n} |\langle v, \phi_n \rangle_{L^2}|^2 < \infty$ を満たす連続的 $L^2$ 関数 $v$ であることを示し、その $\mathcal{H}$-ノルムがこの級数で与えられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再生核ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ が $L^p(X,\mu)$ に含まれるための条件は何か？ これは核の積分作用素の性質を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 評価写像 $\gamma: X \to \mathcal{H}$ が弱可測または弱 $p$-可積分であるための条件は何か？ また、核 $\Gamma(x,y) = \langle \gamma_y, \gamma_x \rangle_{\mathcal{H}}$ の可測性および有界性とどのように関係するか？
• RQ3 核 $\Gamma$ が $X \times X$ 上で連続であるのと、評価作用素 $v \mapsto \langle v, \gamma(\cdot) \rangle_{\mathcal{H}}$ がコンパクトであるとの間の正確な関係は何か？
• RQ4 RKHS が $L^2(X,\mu) \cap \mathcal{C}(X)$ に含まれるとき、積分作用素 $L_\Gamma$ のスペクトル分解が、再生核およびRKHS構造をどのように再構成するか？
• RQ5 級数展開 $\Gamma(x,y) = \sum_n \lambda_n \phi_n(x) \overline{\phi_n(y)}$ がコンパクト集合上で絶対収束・一様収束するための条件は何か？ これは $\gamma$ の強い連続性とどのように関係するか？

主な発見

• 写像 $\gamma: X \to \mathcal{H}$ が弱 $p$-可積分であるための必要十分条件は、核 $\Gamma(x,y) = \langle \gamma_y, \gamma_x \rangle_{\mathcal{H}}$ を持つ積分作用素 $L_\Gamma$ が、$L^{p/(p-1)}(X,\mu)$ から $L^p(X,\mu)$ への作用素として有界であることである（$1 \leq p \leq \infty$）。
• $p=1$ の場合、測度 $\mu$ が非有限であっても、評価作用素 $v \mapsto \langle v, \gamma(\cdot) \rangle_{\mathcal{H}}$ は $L^1(X,\mu)$ にコンパクトである。これはペティスの結果を拡張するものである。
• $X$ が局所コンパクトで $\gamma$ が弱連続であるとき、核 $\Gamma(x,y)$ は局所有界であり、それぞれの変数について連続である。さらに、$\Gamma$ が $X \times X$ 上で連続であることは、評価作用素が $\mathcal{C}(X)$ にコンパクトであることと同値である。
• $X$ が局所コンパクト、第二可算、ハウスドルフ空間であり、正のレドン測度 $\mu$ を持つとき、$\mathcal{H} \subset L^2(X,\mu) \cap \mathcal{C}(X)$ ならば、$\mathcal{H}$ はちょうど $\sum_n \frac{1}{\lambda_n} |\langle v, \phi_n \rangle_{L^2}|^2 < \infty$ を満たす連続的 $L^2$ 関数 $v$ からなる。ここで $\lambda_n$ は $L_\Gamma$ の固有値である。
• 再生核は $\Gamma(x,y) = \sum_n \lambda_n \phi_n(x) \overline{\phi_n(y)}$ とスペクトル展開され、これは $\gamma$ が強く連続であることと同値に、コンパクト集合上で絶対収束・一様収束する。
• 測度 $\mu$ の台が $X$ に一致するとき、標準的包含写像 $W: \mathcal{H} \to L^2(X,\mu)$ は $\operatorname{ker} L_\Gamma^\perp$ から $\mathcal{H}$ へのユニタリ写像であり、これにより $L_\Gamma$ のスペクトル分解から $\mathcal{H}$ と $\Gamma$ を完全に再構成できる。