[論文レビュー] Resampling in Time Series Models

Abhishek Bhattacharya, Arup Bose|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2012

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、AR(1)およびARCH(1)時系列モデルにおける推定量の標本分布を推定するための重み付きブートストラップ(WB)および残差ブートストラップ(RB)手法を提案し、分析する。本稿では、軽微なモーメントおよび重み条件の下で重み付きブートストラップの漸近的一貫性を確立し、特に重い尾を持つ誤差設定下で標本変動性を捉える際、標準的残差ブートストラップよりも優れた性能を示すことを示している。

ABSTRACT

This project revolves around studying estimators for parameters in different Time Series models and studying their assymptotic properties. We introduce various bootstrap techniques for the estimators obtained. Our special emphasis is on Weighted Bootstrap. We establish the consistency of this scheme in a AR model and its variations. Numerical calculations lend further support to our consistency results. Next we analyze ARCH models, and study various estimators used for different error distributions. We also present resampling techniques for estimating the distribution of the estimators. Finally by simulating data, we analyze the numerical properties of the estimators.

研究の動機と目的

• AR(1)およびARCH(1)時系列モデルにおける推定量の漸近的性質を、さまざまな誤差分布のもとで調査すること。
• 正規分布および重い尾を持つスチューデントt分布（自由度3および4）を想定した場合の、最尤推定、絶対偏差最小化法その他の推定手順の有限標本性能を評価すること。
• 一般のモーメントおよび重み条件の下で、AR(1)モデルのパラメータに対する重み付きブートストラップ(WB)推定量の一貫性を確立すること。
• ARCH(1)モデルにおける推定量の標本分布を近似する際、残差ブートストラップ(RB)、m-out-of-n RB、およびWBの性能を比較すること。
• 正規分布でない重い尾を持つ誤差分布（自由度3および4のスチューデントt分布など）の下での推定量およびリサンプリング手法の頑健性を評価すること。

提案手法

• 重み付きブートストラップ推定量を $\hat{\theta}^{*}_{n} = \frac{\sum_{t=2}^{n} w_{t} X_{t} X_{t-1}}{\sum_{t=2}^{n} w_{t} X^{2}_{t-1}}$ として定義し、$w_t$ をデータとは独立なi.i.d.ランダム重みとする。
• P-W定理（Praestgaard and Wellner, 1993）を用いて、重みに平均1、分散$o(n)$、弱相関の条件が満たされる場合の重み付きブートストラップに対するブートストラップ中心極限定理を導出する。
• 標準化された残差 $\hat{Z}_t = X_t - \hat{\theta}_n X_{t-1}$ を復元抽出により再サンプリングし、AR(1)プロセスを再シミュレーションすることで残差ブートストラップを実装する。
• 重い尾を持つ設定での一貫性を向上させるために、$n=100$ の場合に $m=50$ のm-out-of-n残差ブートストラップを用いる。
• オリジナルデータに基づく検定統計量 $V_n$ の経験的分布と、ブートストラップ標本に基づく $V_n^*$ の分布を比較するためにコルモゴロフ・スミルノフ検定を適用する。
• モンテカルロシミュレーションを実施し、各設定で200回の標本を生成し、$n=100$ を用い、さまざまな推定量および誤差分布における平均絶対誤差を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付きブートストラップ推定量 $\hat{\theta}^{*}_n$ がAR(1)モデルのパラメータ $\theta$ に対して一貫性を示す条件は何か？
• RQ2 重み付きブートストラップの性能は、推定量 $\hat{\theta}_n$ の標本分布を推定する際、残差ブートストラップと比べてどのように異なるか？
• RQ3 正規分布および重い尾を持つ誤差分布の下で、最尤推定、絶対偏差最小化法、その他の推定手順のうち、平均絶対誤差が最小となるのはどれか？
• RQ4 重い尾を持つ発生誤差を伴うARCH(1)モデルにおいて、m-out-of-n残差ブートストラップは、全標本残差ブートストラップよりも一貫性が向上するか？
• RQ5 コルモゴロフ・スミルノフ検定で測定した場合、ブートストラップ手法（WB, RB, m-out-of-n RB）は、ARCH(1)モデルにおける推定量の真の標本分布をどの程度よく近似できるか？

主な発見

• 重み付きブートストラップ推定量 $\hat{\theta}^{*}_n$ は、条件A1–A4のもとで漸近的一貫性を示す。$P_B[\sqrt{n}\sigma_n^{-1}(\hat{\theta}^{*}_n - \hat{\theta}_n) \leq x \mid X_1,\dots,X_n] - P[Y \leq x] = o_P(1)$ が成り立ち、ここで $Y \sim N(0, 1-\theta^2)$ である。
• 正規誤差の下では、最尤推定（$\hat{\theta}_{ml}$）が最小の平均絶対誤差（2.548）を示すが、$t_3$誤差の下では絶対偏差最小化推定（$\hat{\theta}_2$）が最も優れた性能を示し、平均誤差は2.307であった。
• 全標本残差ブートストラップは、$\hat{c}_{0ml}$ に対して有意なKS検定p値（0.005）を示しており、一貫性に欠けることが示された。一方、m-out-of-n RBおよびWBはp値が0.05より大きい結果を示し、より良好な性能を示した。
• 重み付きブートストラップは、ARCH(1)モデルにおける最尤推定および絶対偏差最小化推定の両方において良好に機能し、それぞれp値が0.286および0.057であった。これは真の標本分布を良好に近似していることを示している。
• 誤差が $t_3$ 分布に従う場合、最尤推定の平均誤差は11.097に増加するが、絶対偏差最小化推定（$\hat{\theta}_2$）はそれを2.307にまで低減させ、重い尾に対して頑健であることが示された。
• $t_4$ 分布誤差の下では、絶対偏差最小化推定（$\hat{\theta}_2$）の平均誤差は4.528であり、最尤推定（13.107）よりも顕著に低く、より重い尾を持つ状況下でも同様に頑健であることが確認された。