[論文レビュー] Rescaling Algorithms for Linear Programming - Part I: Conic feasibility

Daniel Dadush, László A. Végh+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2016

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 26被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、行列 A の核および像に正のベクトルが存在するかどうかを解く2つの線形凸錐可能性問題に対する多項式時間の再スケーリングアルゴリズムを提示する。反復的に一次のステップと幾何的ポテンシャルを向上させる再スケーリングステップを適用することで、核問題に対しては最悪ケースの複雑さが O((m³n + mn²) log |ρ_A|⁻¹)、像問題に対しては O(m²n² log ρ_A⁻¹) となる。非退化でない場合の拡張は、ビットサイズ複雑度を用いて行う。

ABSTRACT

We propose simple polynomial-time algorithms for two linear conic feasibility problems. For a matrix $A\in \mathbb{R}^{m imes n}$, the kernel problem requires a positive vector in the kernel of $A$, and the image problem requires a positive vector in the image of $A^ op$. Both algorithms iterate between simple first order steps and rescaling steps. These rescalings improve natural geometric potentials. If Goffin's condition measure $ ho_A$ is negative, then the kernel problem is feasible and the worst-case complexity of the kernel algorithm is $O\left((m^3n+mn^2)\log{| ho_A|^{-1}} ight)$; if $ ho_A>0$, then the image problem is feasible and the image algorithm runs in time $O\left(m^2n^2\log{ ho_A^{-1}} ight)$. We also extend the image algorithm to the oracle setting. We address the degenerate case $ ho_A=0$ by extending our algorithms to find maximum support nonnegative vectors in the kernel of $A$ and in the image of $A^ op$. In this case the running time bounds are expressed in the bit-size model of computation: for an input matrix $A$ with integer entries and total encoding length $L$, the maximum support kernel algorithm runs in time $O\left((m^3n+mn^2)L ight)$, while the maximum support image algorithm runs in time $O\left(m^2n^2L ight)$. The standard linear programming feasibility problem can be easily reduced to either maximum support problems, yielding polynomial-time algorithms for Linear Programming.

研究の動機と目的

• 行列 A の核および像に関わる線形凸錐可能性問題の可解性を特定するための効率的で多項式時間のアルゴリズムを開発すること。
• Goffinの条件数測度 ρ_A = 0 の非退化ケースに対処するため、核および像に最大サポートを持つ非負のベクトルを見つけること。
• 像のアルゴリズムをオракル計算モデルに拡張し、より広範な適用性を実現すること。
• 標準的な線形計画法の可解性問題を最大サポート核および像の問題に還元することで、多項式時間のLPアルゴリズムを導出すること。

提案手法

• 核のアルゴリズムは、核の可解性に関連する幾何的ポテンシャル関数を改善する再スケーリングステップと一次ステップを交互に繰り返す。
• 像のアルゴリズムは類似の反復的手続きを用いるが、A^T の像を対象とし、像の可解性に関連するポテンシャルを向上させる再スケーリングを実施する。
• 再スケーリングステップは、収束速度と可解性状態を制御する条件数 ρ_A を向上させるように設計されている。
• 非退化ケース（ρ_A = 0）では、ビットサイズ複雑度モデルを用いて、核および像に最大サポートを持つ非負のベクトルを見つけるためにアルゴリズムを拡張する。
• 明示的な行列アクセスをクエリへの置き換えによってオラクルモデルに適応させることで、多項式時間性能を維持する。
• 複雑さの上限は、非退化ケースでは |ρ_A|⁻¹ にたいする対数的依存性を用い、整数行列の非退化ケースでは全符号長 L に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた行列 A の核に正のベクトルが存在するかどうかを特定する多項式時間アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 核の可解性問題に対する再スケーリングに基づくアルゴリズムの最悪ケース複雑さは何か？また、条件数 ρ_A にどのように依存するか？
• RQ3 像の可解性問題はどのように効率的に解けるか？また、ρ_A に依存する複雑さは何か？
• RQ4 像のアルゴリズムは多項式時間性能を損なわずにオラクルモデルに拡張可能か？
• RQ5 ρ_A = 0 の非退化ケースでは、核および像に最大サポートを持つ非負のベクトルを見つけるにはどうすればよいか？

主な発見

• ρ_A < 0 の場合、核の可解性アルゴリズムは O((m³n + mn²) log |ρ_A|⁻¹) 時間で実行され、核問題の可解性が保証される。
• ρ_A > 0 の場合、像の可解性アルゴリズムは O(m²n² log ρ_A⁻¹) 時間で実行され、像問題の可解性が保証される。
• ρ_A = 0 で整数成分を持つ非退化行列の場合、最大サポート核アルゴリズムはビットサイズ複雑度を用いて O((m³n + mn²)L) 時間で実行される。
• 同様の非退化・整数行列条件下で、最大サポート像アルゴリズムは O(m²n²L) 時間で実行される。
• 標準的な線形計画法の可解性問題は、最大サポート核または像の問題に還元可能であり、多項式時間のLPアルゴリズムが得られる。
• 再スケーリング機構は幾何的ポテンシャルを効果的に向上させ、悪条件または非退化設定でも収束を可能にする。