[論文レビュー] Research of the hereditary dynamic Riccati system with modification fractional differential operator of Gerasimov-Caputo

Dmitriy Tverdyi, Roman Parovik|arXiv (Cornell University)|May 16, 2021

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 25被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、変数次数の変更された Gerasimov-Caputo 分数階微分作用素を用いた、遺伝的動的リッカティ系の数値的解法を提案する。変数次数の記憶核を有する離散化系にニュートン・ラプソン法を適用することで、グリッドの細分化に伴い計算精度が理論的次数に近づくことが示され、記憶および飽和効果を示す系に対するモデルの信頼性が裏付けられた。

ABSTRACT

In this paper, we study the Cauchy problem for the Riccati differential equation with constant coefficients and a modified Gerasimov-Caputo type fractional differential operator of variable order. Using Newton's numerical algorithm, calculation curves are constructed taking into account different values of the Cauchy problem parameters. The calculation results are compared with the previously obtained results. The computational accuracy of the numerical algorithm is investigated. It is shown using the Runge rule that the computational accuracy tends to the accuracy of the numerical method when increasing the nodes of the calculated grid.

研究の動機と目的

• 変数次数の修正された Gerasimov-Caputo 微分を用いた分数階リッカティ方程式のコーシー問題の解明。
• 時間に依存する分数階数を用いて、記憶効果を捉える遺伝的動的をモデル化。
• グリッドの細分化と誤差推定を用いて、ニュートン・ラプソン数値スキームの計算精度を検証。
• 標準的な変数次数型と遅延引数付き変数次数型の二つの異なる分数階微分形式の解を比較。
• 経済サイクルや太陽活動のダイナミクスなど、飽和過程のモデリングを支援。

提案手法

• 遅延引数付きの次数関数 γ(t−τ) を有する修正された Gerasimov-Caputo 微分を用いて分数階リッカティ方程式を定式化。
• 時間区間 [0,T] を N 筭に等分し、ステップ幅 h = T/N を定義し、グリッドノード tn = nh を設定。
• 係数 ωi,γ を用いた重み付き台形積分則により分数階微分を近似。
• 式 (10) の近似を用いて連続的なコーシー問題を非線形差分系に変換。
• 得られた系を解くためにニュートン・ラプソン反復法を適用し、ヤコビ行列の逆行列を用いて解ベクトルを更新。
• 異なるグリッド密度における解から得られる収束次数 p と誤差 ε を用いて、数値的精度をルンゲ則により推定。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遅延引数付きの次数関数を有する修正された Gerasimov-Caputo 作用素は、分数階リッカティ方程式の解のダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ2 記憶効果を有する変数次数分数階リッカティ系を解く際、ニュートン・ラプソン法の計算精度はどの程度か？
• RQ3 遅延次数微分 (8) を用いたコーシー問題の解と、標準的変数次数微分 (5) の解との間には、挙動および収束性においてどのような差異があるか？
• RQ4 グリッドを細分化するに従い、数値的解の精度の次数が理論的次数にどの程度に近づくか？
• RQ5 提案された数値スキームは、ロジスティック的ダイナミクスを示すような、記憶が薄れる飽和過程を信頼性を持ってモデル化できるか？

主な発見

• 定数次数の場合（α = γ = 1）、標準的および修正された Gerasimov-Caputo 形式は同一の解曲線を生成し、一貫性が確認された。
• 例 1（α = γ = 1）では、グリッドの細分化に伴い、計算された精度次数 p が 1.00 に近づき、期待される収束率が確認された。
• 例 2（0.5 < α,γ < 1）では、計算された精度次数 p が 1.00–1.03 の範囲に安定し、2次収束の挙動を示した。
• 例 3（0 < α,γ < 1）では、グリッドの細分化に伴い、計算された精度次数 p が 1.00 に近づき、初期の振動を除いて収束が確認された。
• 例 4（0 < α,γ < 0.5）では、計算された精度次数 p が 0.97 を下回らず、より細かいグリッドで 1.00 に収束する傾向を示し、ロバスト性が裏付けられた。
• すべての例において、絶対誤差 ε はグリッドの細分化に伴い単調に減少し、例 4 では N = 2079 のとき最小誤差（ε ≈ 0.001086）が達成された。