[論文レビュー] Residual Diffusivity in Elephant Random Walk Models with Stops

Jiancheng Lyu, Jack Xin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、小さな確率で対称的なステップ（停止）を伴う摂動付きエレファント・ランダム・ウォークモデルを導入し、サブ拡散系における残余拡散度の研究を行う。1次元および2次元において、1番目と2番目のモーメントの正確な漸近的挙動を解析的に導出することで、摂動の大きさが0に近づく極限（$ϵ \downarrow 0$）においても、有効拡散度が0より大きいままであることを示し、楔型のパrameter領域においても残余拡散度が確認された。

ABSTRACT

We study the enhanced diffusivity in the so called elephant random walk model with stops (ERWS) by including symmetric random walk steps at small probability $ε$. At any $ε> 0$, the large time behavior transitions from sub-diffusive at $ε= 0$ to diffusive in a wedge shaped parameter regime where the diffusivity is strictly above that in the un-perturbed ERWS model in the $ε\downarrow 0$ limit. The perturbed ERWS model is shown to be solvable with the first two moments and their asymptotics calculated exactly in both one and two space dimensions. The model provides a discrete analytical setting of the residual diffusion phenomenon known for the passive scalar transport in chaotic flows (e.g. generated by time periodic cellular flows and statistically sub-diffusive) as molecular diffusivity tends to zero.

研究の動機と目的

• 混沌とした流体の流れを模倣する離散確率過程における残余拡散度のモデル化と分析を行う。
• 小さな対称的ランダムウォークステップ（停止）がエレファント・ランダム・ウォークモデルにおいて、サブ拡散的から拡散的挙動への遷移を引き起こす仕組みを調査する。
• 摂動の大きさが0に近づく極限（$\\epsilon \\downarrow 0$）においても、有効拡散度が0より大きいことを解析的に確立し、残余拡散度を確認する。
• 1次元から2次元への分析の拡張を行い、高次元においても残余拡散度が持続することを確認する。

提案手法

• 各時刻で対称的ステップ（0）をとる確率が小さい$\epsilon$を有する摂動付きエレファント・ランダム・ウォークを導入する。
• ウォークの移動法則を定義し、過去のステップを再び選ぶ確率を$p$、反転させる確率を$q$、停止する確率を$r$とする。
• 条件付き期待値と再帰関係を用いて、位置の1次および2次モーメントの正確な式を導出する。
• ガンマ関数の漸近的解析を適用し、2次モーメント$\\langle |X_t|^2 \\rangle$の時間発展を大時間において導出する。
• 1次元モデルを2次元に一般化し、ベクトル値のステップを導入し、ドリフトおよび拡散成分に行列形式を用いる。
• ガンマ関数の性質を用いて得られたモーメント方程式を解き、$\\langle |X_t|^2 \\rangle$の明示的公式をパラメータ$\epsilon$、$r$、$\gamma$、および$\gamma'$の関数として導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エレファント・ランダム・ウォークモデルに小さな確率の対称的ステップ（停止）を組み込むことで、サブ拡散的から拡散的挙動への遷移が生じるか？
• RQ2 摂動強度$\epsilon \to 0$の極限においても、解ける離散モデルにおいて残余拡散度を解析的に示すことができるか？
• RQ3 摂動付きモデルにおける2次モーメント$\\langle |X_t|^2 \\rangle$の漸近的挙動は何か？また、元のモデル（摂動なし）と比較するとどうなるか？
• RQ4 2次元においても残余拡散度効果は頑健か？また、$(r, \gamma)$平面における楔型パrameter領域でも持続するか？

主な発見

• 2次モーメント$\\langle |X_t|^2 \\rangle$は、$\epsilon \downarrow 0$の極限において、時間に対して線形に増加し、その傾きは元のエレファント・ランダム・ウォークのそれより厳密に大きい。
• 摂動付きモデルにおける有効拡散度は、$\epsilon \downarrow 0$の極限においても0より大きいままであり、残余拡散度が確認された。
• $(r, \gamma)$パラメータ平面に、摂動なしの極限においても、拡散度が元の値を上回る楔型領域が存在する。
• 2次元モデルは1次元モデルと同様に、残余拡散度の挙動を示し、2次モーメントの漸近的スケーリングも同一である。
• ガンマ関数を用いた明示的公式により、$\\langle |X_t|^2 \\rangle = \frac{\epsilon}{(1 - 2\gamma)(\epsilon + r)}t + \text{lower-order terms}$が導出された。
• パrameter$\gamma \to 1/2$のとき、$\epsilon \downarrow 0$に伴い線形項の係数が発散することから、拡散的領域における臨界的遷移が示唆された。