[論文レビュー] Residual-driven online Generalized Multiscale Finite Element Methods

Eric T. Chung, Yalchin Efendiev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 24被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、局所的な残差を用いてオンラインで多重スケール基底関数を豊かにする残差駆動型オンライン一般化多重スケール有限要素法（GMsFEM）を提案する。この手法は、オフライン構築によって見逃された遠方効果を捉えるために、適応的かつ局所的に基底関数を豊かにする。オフライン空間がオンライン誤差低減性質（ONERP）を満たす場合、対照的特性に依存しない誤差低減を保証する。高対照性媒体における適応的豊か化の数値的検証により、急速な収束が確認された。

ABSTRACT

The construction of local reduced-order models via multiscale basis functions has been an area of active research. In this paper, we propose online multiscale basis functions which are constructed using the offline space and the current residual. Online multiscale basis functions are constructed adaptively in some selected regions based on our error indicators. We derive an error estimator which shows that one needs to have an offline space with certain properties to guarantee that additional online multiscale basis function will decrease the error. This error decrease is independent of physical parameters, such as the contrast and multiple scales in the problem. The offline spaces are constructed using Generalized Multiscale Finite Element Methods (GMsFEM). We show that if one chooses a sufficient number of offline basis functions, one can guarantee that additional online multiscale basis functions will reduce the error independent of contrast. We note that the construction of online basis functions is motivated by the fact that the offline space construction does not take into account distant effects. Using the residual information, we can incorporate the distant information provided the offline approximation satisfies certain properties. In the paper, theoretical and numerical results are presented. Our numerical results show that if the offline space is sufficiently large (in terms of the dimension) such that the coarse space contains all multiscale spectral basis functions that correspond to small eigenvalues, then the error reduction by adding online multiscale basis function is independent of the contrast. We discuss various ways computing online multiscale basis functions which include a use of small dimensional offline spaces.

研究の動機と目的

• オフライン基底関数に含まれないグローバル効果を組み込むことで、精度を向上させる局所的かつ適応的な多重スケールモデル低減技術の開発。
• オフラインGMsFEMの限界、すなわち完全に局所的な構築により遠方効果を考慮できないことの解決。
• 対照的特性や多重スケール不均一性に依存せずに誤差を低減できるオンライン基底関数の理論的および数値的条件の確立。
• 残差に基づく豊か化を用いた、オンライン基底関数計算の実用的かつ計算効率の良い戦略の提案。
• 十分なオフライン空間次元数、特に小さな固有値に対応する固有関数を含むことが、効果的なオンライン豊か化に不可欠であることを検証。

提案手法

• 選択された粗大領域において、局所的な残差に基づく問題を解くことでオンライン多重スケール基底関数を構築する。
• 各局所問題の右辺は、現在の解の残差から導出され、モデル化されていないグローバル効果を捉える。
• 残差の重み付きH⁻¹ノルムに基づく後験的誤差指標が、誤差が大きい領域における適応的豊か化を導く。
• 本手法は、オフライン空間がオンライン誤差低減性質（ONERP）を満たしている必要がある。ONERPは、小さな固有値に対応する固有関数を含むことに依存する。
• オンライン基底関数は、次に続く数個の固有関数からなる低次元スナップショット空間を用いて計算され、隣接領域の情報を組み込むことで性能が向上する。
• 適応的戦略により、各領域における最も効果的な基底関数タイプ（例：固有関数対多項式）が残差低減に基づいて選択される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オンライン多重スケール基底関数を追加することで、GMsFEMにおける誤差低減が対照的特性に依存しない条件は何か？
• RQ2 オフライン空間の次元数とスペクトル的性質は、オンライン豊か化の有効性にどのように影響するか？
• RQ3 残差に基づくオンライン基底関数は、局所的なオフライン構築では表現されない遠方効果を効果的に捉えることができるか？
• RQ4 低次元スナップショット空間を用いることで、オンライン豊か化の収束速度にどのような影響があるか？
• RQ5 各領域における基底関数タイプ（固有関数対多項式）の適応的選択は、不均一媒質における精度向上にどのように寄与するか？

主な発見

• オンライン基底関数を追加した場合の誤差低減が対照的特性に依存しないのは、オフライン空間がオンライン誤差低減性質（ONERP）を満たしている場合に限る。
• オフライン空間に含まれない最小の固有値に対応する固有関数が、誤差減衰の速度を決定する。このような固有値が大きいほど、誤差低減は速くなる。
• 数値結果から、十分なオフライン基底関数（特に小さな固有値に対するもの）が含まれていないと、多くの反復を行っても誤差低減は最小限にとどまることが示された。
• 1領域あたり次の10〜50個のスナップショットベクトルのみを用いる場合、収束は遅くなるが、40個の次なるベクトルに加えて隣接領域の情報を組み込むことで、再び高速な収束が回復する。
• 残差低減に基づいて、不均一領域では固有関数、均一領域では多項式を適応的に選択することで、精度と効率が向上する。
• オフライン空間に小さな固有値に対応するすべての多重スケールスペクトル基底関数が含まれている場合、誤差は急速に減少し、高対照性媒質においても頑健な性能を発揮する。