[論文レビュー] Residues and duality for Cousin complexes

Joseph Lipman, Pramathanath Sastry|ArXiv.org|Aug 4, 1996

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、noether的スキームの有限型写像のカテゴリに、Cousin複体をそれ自身の双対に写す正規化された擬関手 $^\#$ を構成する。これはハーツコーンの『Residues and Duality』における残余複体の分散理論を一般化し、それを一意化するものである。主な結果は、関手的同型 $f^\# M \cong E(f^! M)$ であり、$f$ が固有写像のとき、関手 $\operatorname{Hom}(f_*C, M)$ を表す関手的トレース写像 $\operatorname{Tr}_f(M): f_*f^\# M \to M$ が存在する。これは古典的留数定理を拡張するものである。

ABSTRACT

We construct a canonical pseudofunctor ^# on the category of finite-type maps of (say) connected noetherian universally catenary finite-dimensional separated schemes, taking values in the category of Cousin complexes. This pseudofunctor is a concrete approximation to the restriction of the Grothendieck Duality pseudofunctor ^! to the full subcategory of the derived category having Cohen-Macaulay complexes as objects (a subcategory equivalent to the category of Cousin complexes, once a codimension function has been fixed). Specifically, for Cousin complexes M and any scheme map f:X -> Y as above, there is a functorial derived-category map γ: f^# M -> f^! M inducing a functorial isomorphism in the category of Cousin complexes f^# M \iso E(f^! M) (where E is the Cousin functor). γitself is an isomorphism if the complex f^! M is Cohen-Macaulay--which will be so whenever the map f is flat or whenever the complex M is injective. Also, f^# takes residual (resp. injective) complexes on Y to residual (resp. injective) complexes on X; and so the pseudofunctor ^# generalises--and makes canonical--the "variance theory" of residual complexes developed in Chapter VI of Hartshorne's "Residues and Duality." Moreover, we generalise the Residue Theorem of loc.cit., p.369 by defining a functorial Trace map of graded modules Tr_f(M): f_*f^# M -> M (a sum of local residues) such that whenever f is proper, Tr_f(M) is a map of complexes and the pair (f^# M, Tr_f(M)) represents the functor Hom(f_*C, M) of Cousin complexes C.

研究の動機と目的

• Cohen-Macaulay複体に制限されたグロテンディーク双対性関手 $^!$ をモデル化する、noether的スキームの有限型写像のカテゴリに、正規化された擬関手 $^\#$ を構成すること。
• コホーマロフ関数を固定した上で、Cousin複体を用いて抽象的 $^!$-関手の明示的で関手的な近似を提供すること。
• ハーツコーンの第VI章における『分散理論』を、正規化された枠組みへ一般化すること。
• 固有写像に対して、関手的トレース写像 $\operatorname{Tr}_f(M)$ を定義することで、古典的留数定理を拡張すること。
• $f^\#$ が残余複体およびインジェクティブ複体を保存すること、および $f^! M$ が Cohen-Macaulay であるとき $\gamma: f^\# M \to f^! M$ が同型であることを示すこと。

提案手法

• 連結な noether 的で、普遍的に分類可能で分離されたスキームの有限型写像のカテゴリに、Cousin複体のカテゴリへの値をとる擬関手 $^\#$ を定義する。
• 関手的同型 $f^\# M \cong E(f^! M)$ を誘導する、自然な写像 $\gamma: f^\# M \to f^! M$ を構成する。ここで $E$ は Cousin 関手である。
• 固有写像のとき、複体の写像としてのトレース写像 $\operatorname{Tr}_f(M): f_*f^\# M \to M$ を局所留数の和として定義する。
• コホーマロフ関数を用いて、Cohen-Macaulay複体のカテゴリと Cousin複体のカテゴリを同一視することで、構成を可能にする。
• $f^\#$ が $Y$ 上の残余複体およびインジェクティブ複体を保存し、$X$ 上でも同様の性質を保持することを示し、$f$ が平坦または $M$ がインジェクティブであるとき $\gamma$ が同型であることを示す。
• 導来圏の枠組みを用いることで、関手性および双対性との整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グロテンディーク双対性関手 $^!$ は、Cousin複体のカテゴリ上で、擬関手 $^\#$ を用いてどのように明示的に実現できるか？
• RQ2 導来圏において、$f^\# M$ と $f^! M$ の間の正確な関係は何か？ また、自然な写像 $\gamma: f^\# M \to f^! M$ が同型となる条件は何か？
• RQ3 古典的留数定理は、Cousin複体 $C$ に対して $\operatorname{Hom}(f_*C, M)$ を表す関手的トレース写像 $\operatorname{Tr}_f(M)$ を定義することで、どのように一般化できるか？
• RQ4 擬関手 $^\#$ は、ハーツコーンの研究における残余複体の分散理論をどのように拡張するか？
• RQ5 $f^\# M$ が $M$ の残余的性質またはインジェクティブ性を保存するのはどのような条件下か？

主な発見

• 擬関手 $^\#$ は、Cousin複体の双対を正規化され、関手的に構成するものであり、残余複体の分散理論を一般化する。
• 写像 $\gamma: f^\# M \to f^! M$ は、$E$ をCousin関手として、関手的同型 $f^\# M \cong E(f^! M)$ を誘導する。
• トレース写像 $\operatorname{Tr}_f(M): f_*f^\# M \to M$ は局所留数の和であり、$f$ が固有のとき、関手 $\operatorname{Hom}(f_*C, M)$ を表す。
• $f^\#$ は $Y$ 上の残余複体を $X$ 上の残余複体として保存し、インジェクティブ複体をインジェクティブ複体として保存する。
• $f$ が平坦または $M$ がインジェクティブであるとき、$\gamma$ は同型であり、既知の双対性結果と整合する。
• 本研究の結果は、後に発表された math.AG/0310032 およびサスティの予定発表論文によって上書きされ、理論が形式的スキームへ拡張されている。