[論文レビュー] Residues and Resultants

Eduardo Cattani, Alicia Dickenstein+1 more|ArXiv.org|Jan 31, 1997

Polynomial and algebraic computation参考文献 22被引用数 72

ひとこと要約

本稿は、トーリック幾何を用いて、スパース結果式を介してトーラス上のグローバルな残差とトーリック多様体上のトーリック残差の分母公式を確立し、ヤコビアンとスパース多項式系とを結びつける。主な貢献は、ヤコビアンに基づくスパース結果式の行列式公式であり、これは非密度的な係数支持を持つ多変数多項式系を解くための計算アルゴリズムを可能にする。

ABSTRACT

Resultants, Jacobians and residues are basic invariants of multivariate polynomial systems. We examine their interrelations in the context of toric geometry. The global residue in the torus, studied by Khovanskii, is the sum over local Grothendieck residues at the zeros of $n$ Laurent polynomials in $n$ variables. Cox introduced the related notion of the toric residue relative to $n+1$ divisors on an $n$-dimensional toric variety. We establish denominator formulas in terms of sparse resultants for both the toric residue and the global residue in the torus. A byproduct is a determinantal formula for resultants based on Jacobians.

研究の動機と目的

• トーラス上のグローバルな残差と射影的トーリック多様体上のトーリック残差との間の計算的関係を確立すること。
• 両者の残差について、スパース結果式を用いた明示的な分母公式を導出すること。
• 密度の高い系にとどまらず、スパースなローレンツ多項式へと古典的な結果式と残差に関する結果を拡張すること。
• トーリック幾何とスパース結果式を用いた残差のアルゴリズム的計算のための枠組みを構築すること。

提案手法

• ホモジニアライゼーションを介して、トーラス上のグローバルな残差と射影的トーリック多様体上のトーリック残差とをトーリック幾何によって関連付ける。
• グローバル変換法則を適用し、斉次形式のトーリック残差を補助多項式との積の残差に等しくする。
• ニュートン多面体と混合体積を用いて定義されるスパース結果式を、有理関数としての残差関数の分母として用いる。
• ローレンツ多項式のヤコビアンを用いて、スパース結果式の行列式公式を導出する。
• 混合結果式の積の公式を適用し、変数の部分集合によってインデックス付けられた因子に結果式を分解する。
• ザリスキの開集合条件と次数解析を用いて、分母として必要なのは唯一、フルサポート結果式の因子であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーラス上のグローバルな残差は、スパース結果式の積を分母とする有理関数としてどのように表現できるか？
• RQ2 スパース結果式の観点から、トーリック残差とトーラス上のグローバルな残差との間の明確な関係は何か？
• RQ3 ローレンツ多項式のヤコビアン行列式から、スパース結果式の行列式公式を導出できるか？
• RQ4 混合結果式の積の公式における、残差関数の分母として必要な因子はどれか？
• RQ5 スパース結果式がフルサポート集合と関連する場合、いつ分母として十分となるか？

主な発見

• 共通零点におけるグローバンドリーマン残差の和として定義されるトーラス上のグローバルな残差は、その分母がファセット結果式の冪乗（単項式の次数に依存）の積である有理関数である。
• 2変数の一般な二次ローレンツ多項式2つに対して、Res^T_f(x^3y^2) は P_32 / R_infinity^2 に等しく、ここで R_infinity は特定の二次結果式である。
• 射影的トーリック多様体上での斉次形式のトーリック残差は、補助多項式との積の残差に等しく、これにより標準的な結果式計算に還元可能である。
• スパース結果式 R(f_0, g_1, ..., g_n) がトーリック残差の分母として有効であることが示され、特にフルサポート結果式 R(f_0, f_1, ..., f_n) が十分である。
• 混合結果式の積の公式により、分母に寄与するのは J = {1,...,n} の項のみであり、他の項は補助多項式の係数に依存する。
• ヤコビアンを用いた行列式公式がスパース結果式の導出に成功し、古典的結果を非密度的系へと一般化した。