[論文レビュー] Residues of skew rational functions

Xavier Caruso|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、有限位数の自己同型 $ \theta $ を持つ skew 多項式環 $ K[X;\theta] $ 上の skew 有理関数の残差理論を確立する。$ (X^r - z)^n $ を用いたテイラー型展開を導入し、残差を $ (X^r - z)^{-1} $ の係数として定義する。また、古典的複素解析の残差公式および変数変換法則の skew 版を証明し、非可換な設定へと古典的手法を拡張する。

ABSTRACT

This paper constitutes a first attempt to do analysis with skew polynomials. Precisely, our main objective is to develop a theory of residues for skew rational functions (which are, by definition, the quotients of two skew polynomials). We prove in particular a skew analogue of the residue formula and a skew analogue of the classical formula of change of variables for residues.

研究の動機と目的

• skew 有理関数の系統的残差理論を構築し、可換でない skew 多項式環への古典的複素解析の一般化を図ること。
• 特に $ \theta $ が有限位数である場合に、$ (X^r - z)^n $ 展開を用いて skew 多項式へのテイラー展開を拡張すること。
• skew 環におけるローラン型展開を用いて、有限および無限遠点における残差を定義すること。
• skew 有理関数のすべての残差を関連付ける、グローバル残差定理の skew 版を証明すること。
• 分数体 $ \text{Frac}(K[X;\theta]) $ の自己準同型に関する、残差の変数変換公式を確立すること。

提案手法

• 自己同型 $ \theta $ を用いた $ \theta $-twisted 乗法法則 $ Xa = \theta(a)X $ を用いて、skew 多項式のテイラー型展開を構成し、$ X^r - z $ のべきの展開を導く。
• skew 有理関数の点 $ z $ における残差を、そのローラン展開における $ (X^r - z)^{-1} $ の係数として定義する。
• $ r $ が体 $ K $ の特徴と互いに素であるとき、skew 多項式環に自然な微分作用素を導入し、展開の係数と除法微分の値を関連付ける。
• 点間の展開を関連付ける同型写像 $ \tau_z $ および $ \tau_{z,\text{can}} $ を用いて、変換法則を導出する。
• 分数体 $ \text{Frac}(K[X;\theta]) $ の自己準同型に理論を適用し、ノルムおよびヤコビアンに類似した項を含む補正項を伴う変数変換公式を導出する。
• 関数が可換部分環 $ \text{Frac}(K[Y]) $ に属する場合、一般の変数変換公式は古典的可換ケースに還元される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型 $ \theta $ が有限位数である体上の skew 多項式に対して、テイラー展開をどのように一般化できるか。
• RQ2 skew 有理関数の適切な残差の定義は何か。また、$ (X^r - z)^n $ におけるローラン展開とどのように関係するか。
• RQ3 古典的可換ケースにおけるすべての残差の和がゼロであることに類似した、skew 有理関数に対するグローバル残差公式を確立できるか。
• RQ4 分数体 $ \text{Frac}(K[X;\theta]) $ の自己準同型による残差の変換則は何か。また、変数変換公式の skew 版はどのような形か。
• RQ5 skew 残差公式が、どのような条件下で古典的可換残差公式に還元されるか。

主な発見

• 本稿は、任意の skew 多項式 $ f \in K[X;\theta] $ に対して、$ f(X) = \sum_{n=0}^\infty a_n (X^r - z)^n $ の形のテイラー型展開を構成し、$ K $ の分離的閉包内の任意の $ z $ に対して有効であることを示す。
• $ r $ が $ K $ の特徴と互いに素であるとき、展開の係数 $ a_n $ は $ f $ の $ z $ における $ n $ 階除法微分の値に一致し、微分幾何的解釈が得られる。
• skew 有理関数に対しては、ローラン展開が $ f(X) = \sum_{n=v}^\infty a_n (X^r - z)^n $（$ v \in \mathbb{Z} $）の形を取り、$ z $ における残差は $ a_{-1} $ として定義される。
• skew 版の残差公式が証明された：任意の skew 有理関数について、すべての有限および無限遠点における残差の和はゼロである。これは古典的グローバル残差定理を一般化する。
• 変数変換公式が確立された：自己準同型 $ \gamma $ に対して、残差は $ \gamma \circ \text{sres}_{\gamma_* z} = \text{sres}_{z} \left( \gamma(f) \cdot \frac{d\gamma(Y)}{dY} \right) $ の形に変換され、ノルムおよび単元を含む補正項が付加される。
• 可換の場合（$ f \in \text{Frac}(K[Y]) $ のとき）、この公式は古典的変数変換法則に還元され、既知の結果と整合することが確認される。