[論文レビュー] Resolution of singularities of an idealistic filtration in dimension 3 after Benito-Villamayor

Hiraku Kawanoue, Kenji Matsuki|arXiv (Cornell University)|May 21, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正の特性をもつ体上の次元3における理想的フィルトレーションの特異点解消のための局所的アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、Benito-Villamayorの手法を理想的フィルトレーションプログラムに統合し、各吹き上げごとに厳密に減少する新しい不変量を導入することで、Abhyankar-Mohの病理的現象および'カニクロー'点を克服する。また、単項式の場合の終了性を確立し、次元3におけるアルゴリズムを完成させる。

ABSTRACT

We establish an algorithm for resolution of singularities of an idealistic filtration in dimension 3 (at the local level) in positive characteristic, incorporating the method recently developed by Benito-Villamayor into our framework. Although (a global version of) our algorithm only implies embedded resolution of surfaces in the smooth ambient space of dimension 3, a classical result known before, we introduce some new invariant which effectively measures how much singularities are improved in the process of our algorithm and which strictly drops after each blow up. This is in contrast to the well-known Abhyankar-Moh pathology of the increase of the residual order under blow up and the phenomenon of the "Kangaroo" points observed by Hauser.

研究の動機と目的

• 正の特性体上の次元3における理想的フィルトレーションの特異点解消のための局所的アルゴリズムを開発すること。
• Benito-Villamayorの最近の手法を理想的フィルトレーションプログラムの枠組みに統合すること。
• 各吹き上げにおいて厳密に減少する新しい不変量を構成し、Abhyankar-Mohの病理的現象および'カニクロー'点に対処すること。
• 単項式の場合を次元3で解明することで、この設定におけるアルゴリズムを完成させること。
• 正の特性体上での非特異4次元多様体内の3次元多様体の埋め込み的特異点解消のための基盤を築くこと。

提案手法

• 古典的な最大接触超曲面の代わりに、新しい不変量σに関する帰納法によってアルゴリズムが進行する。
• 特異点の改善度を測るための新しい不変量の系列、inv_new が導入され、各吹き上げ後に厳密に減少することを保証する。
• 不変量τに基づく場合分けが行われ、τ = 1 の場合には特別な「クリーニング」手続きと不変量Hが用いられる。
• 次元3における単項式の場合を、τのケースバイケース分析を通じて詳細に分析し、明示的な手順と終了性の証明が与えられる。
• 局所的ピッチの間の整合性を保証するため、i.f.g.-型の理想的フィルトレーションを用い、D-飽和およびR-飽和を適用する。
• グローバル版は、ヒルベルト＝サミュエル関数の最大化と変換下での保存性に依拠して、局所的フィルトレーションの貼り合わせによって構成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性体上の次元3における理想的フィルトレーションの特異点解消のための局所的アルゴリズムを構築できるか？
• RQ2 各吹き上げにおいて厳密に減少するような新しい不変量をどのように定義できるか？これによりAbhyankar-Mohの病理的現象を克服できるか？
• RQ3 新しい不変量枠組み下での次元3における単項式の場合の構造と挙動はいかなるものか？
• RQ4 この手法を、正の特性体上での非特異3次元多様体内の曲面の埋め込み的特異点解消に拡張できるか？
• RQ5 このアルゴリズムは、正の特性体上での非特異4次元多様体内の3次元多様体の埋め込み的特異点解消への実行可能な道筋を提供するか？

主な発見

• 本稿では、各吹き上げ後に厳密に減少する新しい不変量 inv_new が構成され、終了性の保証と特異点の有効な改善が達成される。
• 次元3における単項式の場合の解消は、τに基づく詳細なケースバイケース分析を通じて完全に達成され、τ = 1 の場合には専用の「クリーニング」手続きが用いられる。
• Abhyankar-Mohの病理的現象および「カニクロー」点は、改善度を追跡する新しい不変量の導入により、効果的に克服された。
• グローバル版のアルゴリズムは、非特異3次元多様体内の曲面の埋め込み的特異点解消を実現し、新たな手法により古典的結果を再発見する。
• 本手法は、正の特性体上での非特異4次元多様体内の3次元多様体の埋め込み的特異点解消への基盤的ステップを提供する。
• 理想的フィルトレーションはD-飽和およびR-飽和を用いて構築され、特異点集合の変換下での整合性と保存性が保証される。