[論文レビュー] Resolution of Singularities of Arithmetical Threefolds II

Vincent Cossart, Olivier Piltant|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 47被引用数 14

ひとこと要約

本論文は、任意の特徴値における次元3の準優れたスキームについて、グロテンディークの特異点解消に関する予想を証明し、射影数、モニック展開、および blowing up における不変量に基づく新規なアルゴリズムを用いて、良い解消の存在を確立する。主な結果は、特異点を解消しながら正則性を保ち、特異点集合を厳密な横断的交差 divisor にする、正則的かつ双有理的、射影的準同型である。

ABSTRACT

We prove Grothendieck's Conjecture on Resolution of Singulari-ties for quasi-excellent schemes X of dimension three and of arbitrary characteristic. This applies in particular to X = SpecA, A a reduced complete Noetherian local ring of dimension three and to algebraic or arithmetical varieties of dimension three. Similarly, if F is a number field, a complete discretely valued field or more generally the quotient field of any excellent Dedekind domain O, any regular projective sur-face X/F has a proper and flat model X over O which is everywhere regular.

研究の動機と目的

• 任意の特徴値における次元3の準優れたスキームの特異点解消を達成し、グロテンディークの長年の予想を確認すること。
• 全変形が厳密な横断的交差 divisor である良い解消（log-resolution）を構成すること。
• 等特徴値0の範囲を超えて、不等特徴値を含む算術的3次元多様体に対しても解消理論を拡張すること。
• ヒロナカの許容的中心に依存しない、構成的かつファンクター的な解消アルゴリズムを提供すること。
• 優れたデデキンド整域上の正則射的平面の正則的、固有的、平坦なモデルの存在を確立すること。

提案手法

• 解消の構造を支配する射影数 κ(x) ∈ {1,2,3,4} による分類を用いる。
• 特異点の深刻さを測り、blowing up の中心の選定を導くために、新しい不変量系 ω(x), ε(x), A_i(x) を導入する。
• 局所座標における定義方程式のモニック展開に依存するアルゴリズムであり、特に純無理的またはガロア拡張の仮定の下で有効である。
• 特定の不変量（例：V ∈ Vdir(x)）の消失によって定義される中心に沿った blowing up を用いて、特異点の複雑さを低下させる。
• A₁(x), A₂(x), d₁, d₂ などの不変量に対する下りの帰納法を用い、blowing up における変化を注意深く追跡する。
• 射影定理と横断的／接する挙動に関する場合分けを用いて、単純なケースへの再帰的還元によって解消を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グロテンディークの特異点解消予想は、正の特徴値や混合特徴値を含む3次元多様体へ拡張可能か？
• RQ2 等特徴値0を仮定せず、3次元の準優れたスキームに対して構成的かつファンクター的な解消アルゴリズムは存在するか？
• RQ3 優れたデデキンド整域上の正則射的平面に対し、正の特徴値であっても正則的、固有的、平坦なモデルを構成可能か？
• RQ4 ω(x), ε(x), 射影数 κ(x) などの不変量は、混合特徴値における解消プロセスをどのように導くことができるか？
• RQ5 特異点集合の全変形が解消後に厳密な横断的交差 divisor となるための条件は何か？

主な発見

• 本論文は定理1.1を証明した：次元 ≤3 の任意の単純化された、分離された、準優れたスキームは、正則的局所に同型である、固有的かつ双有理的射影的準同型により良い解消を有する。
• 任意の次元3の、単純化された完全なネーター局所環 A に対して、Spec A は、系理1.2で述べられるように、射影的良い解消を有する。
• ヒロナカの許容的中心に依存せず、代わりに新しい不変量系とモニック展開を用いる。
• κ(x) = 1, 2, 3, 4 のすべてのケースにおいて、モニック展開への還元と不変量に関する帰納的降下を用いて特異点を解消する。
• この方法により、例外的除集合が厳密な横断的交差 divisor であることが保証され、log-resolution 条件を満たす。
• 結果は算術的スキームおよび形式的完備化へも拡張可能であり、特に優れたデデキンド整域上の正則射的平面に対しても、系理1.3で示されている。