[論文レビュー] Resolutions of Orbifold Singularities and Flows on the McKay Quiver

Alexander V. Sardo-Infirri|ArXiv.org|Oct 4, 1996

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、有限群 $\Gamma$ に関する McKay モデルと関連する McKay 有向グラフの表現のモジュライ空間として、軌道的特異点 $\mathbb{C}^n/\Gamma$ の部分的解消 $X_\zeta$ が実現可能であることを確立する。アーベル的 $\Gamma$ の場合、$X_\zeta$ は McKay 有向グラフ上で定義された一般化輸送問題の解多面体によって定義されるトーリック多様体であることが示され、パrameter 空間のチャネルへの分割を用いて、オイラー標跡数、特異点、双正則型の明示的計算が行われる。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a finite group acting linearly on $\C^n$, freely outside the origin. In previous work a generalisation of Kronheimer's construction of moduli of Hermitian-Yang-Mills bundles with certain invariance properties was given. This produced varieties $X_ζ$ (parameterised by $ζ\in\Q^N$) which are partial resolutions of $\C^n/Γ$. In this article, it is shown the same $X_ζ$ can be described as moduli spaces of representations of the McKay quiver associated to the action of $Γ$. It it shown that, for abelian groups, $X_ζ$ are toric varieties defined by convex polyhedra which are the solution sets for a generalisation of the transportation problem on the McKay quiver. The generalised transportation problem is solved for an arbitrary quiver to give a description of the extreme points, faces, and tangent cones to the solution polyhedra in terms of certain distinguished trees in the quiver. Applied the McKay quiver, this gives an explicit procedure for calculating $X_ζ$, its Euler number, and its singularities for any $ζ$. The $ζ$-parameter-space is thus partitioned into a finite disjoint union of cones inside which the biregular type of $X_ζ$ remains constant. Finally, the example $\C^3/\Z_5$ (weights $1,2,3$) is worked out in detail, and figures of smooth and singular $X_ζ$ and their corresponding flows are drawn. A further example of smooth crepant resolution $X_ζ$ is drawn for the singularity ${1/11}(1,4,6)$.

研究の動機と目的

• 部分的解消 $X_\zeta$ の $\mathbb{C}^n/\Gamma$ を McKay 有向グラフの表現のモジュライ空間として統一的に記述すること。
• アーベル的 $\Gamma$ に対して、McKay 有向グラフ上で定義された一般化輸送問題の解集合を用いて、$X_\zeta$ がトーリック多様体として特徴付けられることを示すこと。
• 任意の $\zeta \in \mathbb{Q}^N$ に対して、$X_\zeta$、そのオイラー標跡数、特異点、および双正則型を明示的に計算するためのアルゴリズムを提供すること。
• $X_\zeta$ の双正則型が一定であるような、$\zeta$ パrameter 空間の有限個のコーンへの分割をすること。

提案手法

• McKay 有向グラフの表現のモジュライ空間として $X_\zeta$ を表現し、Kronheimer 型構成と関連付ける。
• 解多面体が $X_\zeta$ をトーリック多様体として定義する一般化輸送問題を有向グラフ上で導入する。
• 解多面体の極点、面、接錐を、有向グラフ内の特徴的な木を用いて特徴付ける。
• 一般化輸送問題の枠組みを適用して、$X_\zeta$ のオイラー標跡数と特異点型を計算する。
• 有向グラフ論的フローを用いて $X_\zeta$ の構造を解析し、$\zeta$-空間を双正則型が一定であるチャンネルに分割する。
• 明示的な組合せ的技法を用いて不変量を計算し、具体的な例（$\mathbb{C}^3/\mathbb{Z}_5$ および $\mathbb{C}^3/\mathbb{Z}_{11}$）の幾何的実現を描く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群 $\Gamma$ に対して、$\mathbb{C}^n/\Gamma$ の部分的解消 $X_\zeta$ は McKay 有向グラフの表現のモジュライ空間として記述可能か？
• RQ2 McKay 有向グラフ上で定義された一般化輸送問題の解多面体は、$X_\zeta$ の幾何をどのように記述できるか？
• RQ3 $X_\zeta$ の双正則型が一定であるような、$\zeta$-パラメータ空間のチャネル構造はどのようなものか？
• RQ4 任意の $\zeta$ に対して、$X_\zeta$ のオイラー標跡数と特異点型を明示的に計算する方法は何か？
• RQ5 McKay 有向グラフ内の特徴的な木は、解多面体の面や接錐を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• アーベル的 $\Gamma$ の場合、多様体 $X_\zeta$ は McKay 有向グラフ上で定義された一般化輸送問題の解集合として定義される凸多面体によって与えられるトーリック多様体である。
• 解多面体の極点、面、接錐は、すべて McKay 有向グラフ内の特徴的な木を用いて完全に特徴付けられる。
• $\zeta$-パラメータ空間は、各コーン内で $X_\zeta$ の双正則型が一定である有限個の有理係数多面体的コーンの互いに素な和集合に分割される。
• $X_\zeta$ のオイラー標跡数は、有向グラフと一般化輸送問題の組合せ論的構造を用いて明示的に計算される。
• $\mathbb{C}^3/\mathbb{Z}_5$ で重み $(1,2,3)$ を持つ場合、滑らかでない $X_\zeta$ とその対応する有向グラフの流れの詳細な図が提供される。
• $\mathrm{1/11}(1,4,6)$ の特異点に対して、滑らかなクレパント解消 $X_\zeta$ が構成され、図示され、非アーベル的かつ高次元の場合への適用可能性が確認される。