[論文レビュー] Resolutions of p-Modular TQFT's and Representations of Symmetric Groups

Thomas Kerler|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特徴値0のスペクトモジュールを用いた対称群の $p$-モジュラー表現の新規な分解を確立し、$p$-還元されたスペクトモジュールの系列の余核として $p$-モジュラー単純モジュール $\mathcal{D}^\tau_p$ を実現する正確な複体を提供する。主な貢献は、$\tau_i$ がシフトされたヤン図形であるときの特性の展開 $\varphi_p^\tau = \sum_{i\geq 0} (-1)^i \chi_p^{\tau_i}$ であり、その写像は $\mathbb{Z}^2$ のテンソル積上の双対 $\mathfrak{sl}_2$-作用を介して構成され、モジュラー表現理論と通常の表現理論の間の新たな双対性を生じる。

ABSTRACT

We construct families of TQFT's over the finite field Z/pZ starting from an integral TQFT obtained by Frohman and Nicas. These TQFT's are likely to describe the constant order contributions of the cyclotomic integer expansions of the Reshetikhin Turaev Ohtsuki theories. Their modular structure is intimately related to the p-modular representation theory of the symmetric groups S_n. We construct resolutions of simple p-modular TQFT's and S_n-modules over Z/pZ using powers of Lefschetz operators. These yield expansions of the irreducible p-modular S_n-characters in terms of the ordianry ones as well as expressions for the Alexander Polynomial of a 3-manifold evaluated at a p-th root of unity in terms of traces in the irreducible modular TQFT's over covering cobordisms. Together with identifications with the constant orders of quantum TQFT's this results, e.g., in non-trivial criteria for a group to be a 3-manifold group.

研究の動機と目的

• 対称群の $p$-モジュラー単純表現 $\mathcal{D}^\tau_p$ を通常の $p$-還元スパクトモジュール $\mathcal{S}^{\tau_i}_p$ の観点から分解すること。
• 既知の通常からモジュラー特性への還元とは逆に、特性の展開 $\varphi_p^\tau = \sum_{i\geq 0} (-1)^i \chi_p^{\tau_i}$ を確立すること。
• 対称群の表現理論と $\mathbb{F}_p$ 上のトポロジカル量子場理論（TQFT）を、特にテンソル積上の $\mathfrak{sl}_2$-作用を通じて結びつけること。
• ジョンソン＝モリータ拡張と $\mathfrak{sp}_{2g}$-モジュールを用いて、分解構造をシミレクティック群およびマッピングクラス群へ一般化すること。

提案手法

• $S_n$--equivariant 写像の正確な系列を構成する：$\cdots \to \mathcal{S}^{\tau_2}_p \to \mathcal{S}^{\tau_1}_p \to \mathcal{S}^{\tau_0}_p \to \mathcal{D}^\tau_p \to 0$、ここで $\tau_i$ は $a-b \leq p-2$ を満たすシフトされたヤン図形である。
• 複体内の写像を $({\mathbb{Z}}^2)^{\otimes n}$ 上の双対 $\mathfrak{sl}_2$-生成子の作用として実現し、これは置換モジュール $M^\tau$ を含む。
• ケシュチェフとシェトの二行スパクトモジュールのモジュラー構造に関する結果を用いて、第5節で複体の正確性を証明する。
• レフシェッツ分解法とスパクトモジュール理論を用いて、$\mathbb{F}_p$-還元 $\mathcal{S}^\tau_p$ 及びその単純商 $\mathcal{D}^\tau_p$ を分析する。
• $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z})$ のシミレクティック群へ拡張するため、$\mathfrak{sp}_{2g}$ が $\bigwedge^k H$ 上に作用するのを分析する。ここで $H = H_1(\Sigma_g,\mathbb{Z})$ である。
• $\mathbb{F}_p$-モジュール $\mathcal{U}_p^{(j)}(\Sigma_g)$ の分解を、交替的な写像 $E^k \oplus E^{k+3}$ 及び $E^{p-k} \oplus E^{p-k-3}$ を用いて構成するが、これらの写像は $\mathbf{Q}_g$-equivariant ではない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称群 $S_n$ の $p$-モジュラー単純表現 $\mathcal{D}^\tau_p$ は、通常の $p$-還元スパクトモジュール $\mathcal{S}^{\tau_i}_p$ の観点から分解可能か？
• RQ2 既知の還元 $\chi^\tau \mapsto \chi_p^\tau$ の逆となる特性レベルの逆写像が存在するか、すなわち $\varphi_p^\tau = \sum (-1)^i \chi_p^{\tau_i}$ が成立するか？
• RQ3 $({\mathbb{Z}}^2)^{\otimes n}$ 上の $\mathfrak{sl}_2$-作用が、$\mathcal{D}^\tau_p$ の分解における写像をどのように実現するか？
• RQ4 ジョンソン＝モリータ拡張を用いて、$\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z})$ のような高ランクリー・グループへ分解構造を一般化できるか？
• RQ5 分解における構成された写像は、拡張系列を逆転させても $\mathbf{Q}_g$-equivariant でないのはなぜか？

主な発見

• $p \geq 3$ および二行ヤン図形 $\tau = [a,b]$ で $0 \leq a-b \leq p-2$ を満たす場合、複体 $\cdots \to \mathcal{S}^{\tau_2}_p \to \mathcal{S}^{\tau_1}_p \to \mathcal{S}^{\tau_0}_p \to \mathcal{D}^\tau_p \to 0$ は正確である。
• 特性の展開 $\varphi_p^\tau = \sum_{i\geq 0} (-1)^i \chi_p^{\tau_i}$ が成立し、ここで $\tau_i$ は $\tau_{2i} = [a+ip, b-ip]$ および $\tau_{2i-1} = [b+ip-1, a-ip+1]$ として定義されるシフトされた図形である。
• 複体内の写像は $({\mathbb{Z}}^2)^{\otimes n}$ 上の双対 $\mathfrak{sl}_2$-作用から生じ、$S_n$-モジュール構造を保存し、well-defined な複体を生成する。
• $g \geq 0$、$p \geq 5$、$0 < k < p-3$ の場合、$\mathbb{F}_p$-モジュール $\mathcal{U}_p^{(j)}(\Sigma_g)$ に対して類似の正確な系列が存在し、交替的な写像 $E^k \oplus E^{k+3}$ 及び $E^{p-k} \oplus E^{p-k-3}$ を用いる。
• $\mathcal{U}_p^{(j)}(\Sigma_g)$ の分解は $\mathbf{Q}_g$-equivariant ではなく、偶数番目の拡張を反転させても、ジョンソン＝モリータ準同型の下で不変構造が保たれないためである。
• 結果は、$p=5$ のとき、3次元多様体におけるレスコプ不変量とレシュチキン＝トゥレイブ不変量の間の関係が、TQFTフレームワークを通じて示唆される可能性を示している。