[論文レビュー] Resolvent and spectral measure on non-trapping asymptotically hyperbolic manifolds II: spectral measure, restriction theorem, spectral multiplier

Xi Chen, Andrew Hassell|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非捕獲な漸近的に双曲的多様体上のラプラシアンの平方根のスペクトル測度について、高エネルギーのリゾルベント推定を用いて点ごとの境界を確立する。すべての $ p \in [1,2) $ に対して鋭い $ L^p \to L^{p'} $ 制限定理が得られ、漸近的に錐状の状況よりも強力であり、負の曲率のもとで $ L^p + L^2 $ 上のスペクトル乗数結果も得られる。これは指数的体積成長に起因する。

ABSTRACT

We consider the Laplacian $Δ$ on an asymptotically hyperbolic manifold $X$, as defined by Mazzeo and Melrose. We give pointwise bounds on the spectral measure for the operator $(Δ- n^2/4)_+^{1/2}$ on such manifolds, under the assumptions that $X$ is nontrapping and there is no resonance at the bottom of the spectrum. This uses the construction of the resolvent given by Mazzeo and Melrose (valid when the spectral parameter lies in a compact set), Melrose, Sá Barreto and Vasy (high energy estimates for a perturbation of the hyperbolic metric) and the present authors (see also the work by Yiran Wang) in the general high-energy case. Under the additional assumption that $X$ has negative curvature everywhere, we give two applications of the spectral measure estimates. The first, following work due to Guillarmou and Sikora with the second author in the asymptotically conic case, is a restriction theorem, that is, a $L^p(X) o L^{p'}(X)$ operator norm bound on the spectral measure. The second is a spectral multiplier result, that is, a bound on functions $F((Δ- n^2/4)_+^{1/2})$ of the square root of the Laplacian, in terms of norms of the function $F$. Compared to the asymptotically conic case, our spectral multiplier result is weaker, but the restriction estimate is stronger. In both cases, the difference can be traced to the exponential volume growth at infinity for asymptotically hyperbolic manifolds, as opposed to polynomial growth in the asymptotically conic setting. The pointwise bounds on the spectral measure established here will also be applied to Strichartz estimates in another work by the first author.

研究の動機と目的

• 非捕獲な漸近的に双曲的多様体上での $(\Delta - n^2/4)_+^{1/2}$ のスペクトル核の精密な点ごとの境界を確立すること。
• スペクトル測度の作用素ノルム推定、特に制限定理とスペクトル乗数結果を導出すること。
• 指数的体積成長がスペクトル推定に与える影響を検討し、漸近的に錐状多様体の多項式的成長と対比すること。
• 以降の研究で応用される、時間全域におけるストリカルツ推定の基礎的推定を提供すること。

提案手法

• Mazzeo-Melrose、Melrose-Sá Barreto-Vasy および著者らの先行研究に基づくリゾルベント構成を用い、高エネルギー挙動を分析する。
• スペクトル測度 $dE_P(\lambda)$ を $(\Delta - n^2/4 - (\lambda \pm i0)^2)^{-1}$ の境界値として表現する。
• 微局所的手法を用いてスペクトル測度を対角近傍に局所化し、点ごとの核の境界を導出する。
• カウチ・シュバルツと $L^p$-ベースの推定を用いて、スペクトル測度に由来する振動的積分を制御する。
• $F$ のフーリエ変換の $L^1$ および $L^2$ 界を用いて、スペクトル乗数ノルムを制御する。
• 記号推定と部分積分を用いて、パラメトリクス構成における $c$、$a_\pm$、および $\tilde{a}_\pm$ を含む誤差項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非捕獲な漸近的に双曲的多様体上での $(\Delta - n^2/4)_+^{1/2}$ のスペクトル測度の点ごとの境界はどのように振る舞うか？
• RQ2 指数的体積成長があるにもかかわらず、漸近的に双曲的設定においてすべての $p \in [1,2)$ に対して $L^p \to L^{p'}$ 制限定理を確立できるか？
• RQ3 負の曲率のもとで $F((\Delta - n^2/4)_+^{1/2})$ のスペクトル乗数境界はどのようなものか？また、漸近的に錐状の状況とはどのように異なるか？
• RQ4 指数的体積成長は、多項式的成長と比較して、制限および乗数推定の鋭さにどのように影響するか？

主な発見

• すべての $ p \in [1,2) $ に対して鋭い $ L^p \to L^{p'} $ 制限定理が確立され、漸近的に錐状の状況では $ p \geq 2(d+1)/(d+3)$ の場合にその推定が失敗するのと比較して、より強力である。
• 非捕獲および共振なしの条件下で、高エネルギーのリゾルベント推定に基づき、スペクトル測度が点ごとのシュワーツ核の境界を満たす。
• 負の曲率の仮定の下で、$ p \in [1,2) $ に対して $ L^p(X) + L^2(X) $ 上でスペクトル乗数結果が得られ、$ F $ の $ H^{(n+1)/2} $-ノルムに依存する境界が得られる。
• $ L^1 $-ベースの $ L^2 $-ノルム推定はパrameter $\alpha$ に関して一様に有界であり、乗数推定にとって重要である。
• 証明は、$F(\alpha\lambda)$、$c$、$a_\pm$、および $\tilde{a}_\pm$ を含む振動的積分の一様有界性に依拠し、部分積分と記号推定を用いる。
• 漸近的に双曲的多様体における指数的体積成長は、より強い制限推定を可能にするが、スペクトル乗数の $L^p$-有界性は漸近的に錐状の設定よりも弱くなる。