[論文レビュー] Resonances for Schr\"odinger operator with periodic plus compactly supported potentials on the half-line

Evgeny Korotyaev|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 10被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、1周期性ポテンシャルとコンパクトな台を持つポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素の半直線上における共鳴を分析する。スペクトル理論と複素解析を用いて、共鳴の禁じられた領域を確立し、大きな円板内での共鳴の分布を特定し、高エネルギーにおける共鳴およびスペクトルギャップ内の固有値の漸近公式を導出する。主な貢献は、このような作用素の高エネルギー領域における共鳴分布の正確な記述である。

ABSTRACT

We consider the Schrödinger operator H = − d2 dx 2 + p + q in L 2 (R+), where the potential p is real 1-periodic and the potential q is real compactly supported. We prove the following results: 1) a forbidden domain for the resonances is specified, 2) the distribution of resonances in the disk with radius r → ∞ is determined, 3) the asymptotics of resonances and eigenvalues in the gap are determined at high energy. 1 Introduction and main results Consider the Schrödinger operator H acting in the Hilbert space L 2 (R+) and given by H = H0 + q, H0f = −f ′ ′ + p(x)f, f(0) = 0, where the real potential p ∈ L 1 (R/Z) and q ∈ Pt = {q: q ∈ L 1 (R+), supp q ⊂ [0, t] and each set (t − ε, t) ∩ supp q, ε> 0 has positive Lebesgue measure}, t> 0. It is well known,

研究の動機と目的

• 周期的およびコンパクトな台を持つポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素の半直線上における共鳴の分布および漸近的性質を理解すること。
• 共鳴が存在できない複素平面上の禁じられた領域を特定すること。
• 半径 r → ∞ のときの半径 r の円板内での共鳴の漸近的分布を特定すること。
• 高エネルギーにおけるスペクトルギャップ内での共鳴および固有値の明示的漸近公式を導出すること。

提案手法

• 本分析は、半直線上の周期的ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素のスペクトル理論に依拠する。
• 作用素は周期的部品 H₀ = −d²/dx² + p(x) とコンパクトな台を持つ摂動 q に分解される。
• 共鳴の位置を研究するために、チッチマース＝ウイルズの m 関数およびジョスト解に複素解析的手法を適用する。
• ジョスト解の推定およびモノドロミー行列の構造を用いて、共鳴の禁じられた領域を導出する。
• ジョスト解およびチッチマース＝ウイルズの m 関数の漸近展開を用いて、大きな円板内での共鳴の密度および分布を特定する。
• 複素平面上での停留位相法および WKB 型近似を用いて、ギャップ内での共鳴および固有値の高エネルギー漸近的性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュレーディンガー作用素 H = −d²/dx² + p + q の共鳴が存在できない、複素平面上の禁じられた領域は何か？
• RQ2 半径 r の円板の半径 r が ∞ に近づくとき、共鳴は複素平面上でどのように分布するか？
• RQ3 高エネルギーにおける共鳴および固有値の漸近的性質は何か？
• RQ4 周期的ポテンシャル p とコンパクトな台を持つ摂動 q の間の相互作用は、共鳴分布にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 共鳴の禁じられた領域が複素平面上で明示的に特定され、周期的ポテンシャルのスペクトル構造に依存する特定の領域（実軸付近）が除外される。
• 半径 r の円板内にある共鳴の数は、r → ∞ のとき、C r に漸近的に増加する。ここで C はスペクトルギャップの長さに関連する定数である。
• 周期的作用素 H₀ の各スペクトルギャップにおいて、共鳴および固有値は、準運動量および WKB 近似から導かれる特定の密度関数に漸近的に従う。
• ギャップ内での共鳴の高エネルギー漸近的性質は、ギャップ構造および q の台に応じて、正確な対数的または代数的法則に従うことが示された。
• ギャップ内の固有値は、高エネルギーにおいてギャップの端に集積し、その密度は共鳴分布と一致することが示された。
• コンパクトな台を持つ摂動 q は、実軸付近に有限個の追加共鳴を導入するが、その数はエネルギーに依存せず、一様に有界である。