[論文レビュー] Resonant energy exchange in nonlinear oscillatory chains and Limiting Phase Trajectories: from small to large systems

L. I. Manevich, В. В. Смирнов|ArXiv.org|Mar 30, 2009

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 3被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、完全なエネルギー移動を伴う弱く結合された非線形振動子鎖における強力なエネルギー交換を分析するための基本的枠組みとして、極限位相軌道（LPT）を導入する。これは、完全なエネルギー移動を伴う系における非線形正規モード（NNM）の代替手段である。LPTは、強烈なモード間エネルギー交換を解析的に記述でき、分岐や振動衝突的ダイナミクスを明らかにし、共鳴結合と分離子の合体を通じて大規模な鎖における局在的励起（ブレザーに類似）の出現を説明する。

ABSTRACT

We present an adequate analytical approach to the description of nonlinear vibration with strong energy exchange between weakly coupled oscillators and oscillatory chains. The fundamental notion of the limiting phase trajectory (LPT) corresponding to complete energy exchange is introduced. At first we propose a simple analytical description of vibrations of nonlinear oscillators. We show that two dynamical transitions occur in the system. First of them corresponds to the bifurcation of anti-phase vibrations of oscillators. And the second one is caused by coincidence of LPT with separatrix dividing two stable stationary states and leads to qualitative change in both phase and temporal behavior of the LPT. Next problem under consideration relates to intensive intermodal exchange in the periodic nonlinear systems with finite (n>2) number of degrees of freedom. We consider two limiting cases. If the number of particles is not large enough, the energy exchange between nonlinear normal modes in two-dimensional integral manifolds is considered. When the number of the particles increases the energy exchange between neighbor integral manifolds becomes important that leads to formation of the localized excitations resembling the breathers in the one-dimensional continuum media.

研究の動機と目的

• 従来の非線形正規モード（NNM）が重ね合わせの法則を満たさないため、弱く結合された非線形振動子系における強力なエネルギー交換を解析的に記述する枠組みを構築すること。
• 完全なエネルギー移動を特徴とする、NNMの動的代替手段としての極限位相軌道（LPT）を導入すること。
• LPTが系の自由度数の増加に伴いどのように変化するかを調査し、大規模な周期的鎖におけるブレザーに類似した局在的励起の形成を明らかにすること。
• 周波数共鳴、非対称性、境界条件がエネルギー局在化およびダイナミクス的遷移を引き起こす役割を分析すること。

提案手法

• 高速時間τ₁と遅い時間τ₂ = ετ₁を用いた2スケール漸近的手法を定式化し、複素変数φ₁, φ₂の振幅方程式を導出する。
• モード振幅f₁, f₂の遅い時間的変化を記述する準線形微分方程式の連立系を導出することで、エネルギー交換ダイナミクスを捉える。
• LPTを2つの振動子間で完全なエネルギー移動を示す軌道として特定し、位相差条件Δ = 0（超正規モード）またはΔ = π/2（楕円モード）によって定義する。
• 分離子の形成を通じた分岐の分析を行い、特にLPTが安定な定常状態を分ける分離子と一致する場合に注目する。
• 有限なN > 2の周期的鎖にLPT枠組みを適用し、2次元積分多様体におけるモード間結合を検討し、Nの増加に伴う3次元ダイナミクスへの移行を分析する。
• 数値シミュレーションを用いて、分離子の合体および周波数のずれに起因する局在的励起およびカオス的ブレザーの出現を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極限位相軌道（LPT）は、弱く結合された非線形振動子系における完全なエネルギー移動をどのように記述するのか。また、非線形正規モード（NNM）とはどのように異なるのか。
• RQ2 結合強度や非対称性などのパラメータが変化する際、特に分岐点付近でどのようなダイナミクス的遷移が生じるのか。
• RQ3 自由度数が増加する周期的鎖においてLPTはどのように変化するのか。また、ブレザーに類似した局在的励起の形成を引き起こす要因は何か。
• RQ4 高周波数モード（例：πモード）と近接モードとの準共鳴が、エネルギー局在化およびカオス的挙動の発生に果たす役割は何か。
• RQ5 境界条件および系の長さがエネルギー閉じ込めの発生および分離子とLPT軌道の合体に与える影響は何か。

主な発見

• LPTは、2つの弱く結合された非線形振動子における強力なエネルギー交換を完全に解析的に記述でき、LPTが分離子と一致する場合には時間的振幅プロファイルが振動衝突振動に類似する。
• 2つのダイナミクス的遷移が観測される：(1) 反相振動の分岐、(2) LPTが分離子と合体する臨界遷移で、これにより位相および時間的ダイナミクスに本質的な変化が生じる。
• 有限なN > 2では、2次元積分多様体内でのdegenerate NNM間の共鳴結合が遅いエネルギー移動を引き起こすが、Nの増加に伴い隣接する多様体間の結合が可能になり、局在的励起の形成を促進する。
• πモードの分離子がLPTと臨界エネルギー閾値E = π²/(3βN)で合体するときにエネルギー局在化が発生し、これは鎖の長さに依存しない。このときエネルギーは有界領域に閉じ込められる。
• 局在化のための臨界占有数はX_c = 16π²/(27β)であり、これより上では、閉じた軌道と通過時間軌道を分ける新しいLPTが出現し、カオス的ブレザー動的挙動の始まりを示す。
• 系の非対称性は完全なエネルギー移動を抑制する：非対称性が閾値未満に低下すると完全なエネルギー交換は停止し、超正規モードは安定化するが、楕円モードは不安定化する。