[論文レビュー] Resonant forcing of select degrees of freedom of multidimensional chaotic map dynamics

Vadas Gintautas, Glenn Foster+1 more|ArXiv.org|May 2, 2007

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、一部の自由度しか直接的に駆動できない多次元カオス的写像における最適な共鳴駆動関数を特定するための変分法的手法を開発する。軌道の変位と有効総駆動関数の積が保存されることを示し、ラグランジュ乗数が駆動効率および非駆動変数への間接的駆動の物理的指標として機能することを明らかにする。

ABSTRACT

We study resonances of multidimensional chaotic map dynamics. We use the calculus of variations to determine the additive forcing function that induces the largest response, that is, the greatest deviation from the unperturbed dynamics. We include the additional constraint that only select degrees of freedom be forced, corresponding to a very general class of problems in which not all of the degrees of freedom in an experimental system are accessible to forcing. We find that certain Lagrange multipliers take on a fundamental physical role as the efficiency of the forcing function and the effective forcing experienced by the degrees of freedom which are not forced directly. Furthermore, we find that the product of the displacement of nearby trajectories and the effective total forcing function is a conserved quantity. We demonstrate the efficacy of this methodology with several examples.

研究の動機と目的

• すべての自由度が直接駆動可能でない多次元カオス的系における共鳴駆動の課題に対処すること。
• アクセス可能な自由度に制限された条件下で、系の応答を最大化する駆動関数を特定する一般的手法を開発すること。
• ラグランジュ乗数が、駆動効率および非駆動自由度に及ぼされる有効駆動を定量化する物理的役割を解明すること。
• 部分的駆動が施された場合でも、軌道の変位と有効総駆動関数を結ぶ保存量を確立すること。
• 解析的および数値的例を通じて、選択的駆動を伴うカオス的写像ダイナミクスにおける手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 離散時間反復写像 $\mathbf{x}^{(n+1)} = \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(n)}) + \mathbf{F}^{(n)}$ を用いて問題を定式化し、$\mathbf{F}^{(n)}$ を駆動関数とする。
• ラグランジュ乗数 $\gamma_j^{(n)}$ を用いて、$d - d_u$ 個の自由度のみが直接駆動され、$d_u$ 個の自由度が非駆動であるという制約を課す。
• 動的制約および固定された総駆動エネルギー $F^2$ の下で、最終応答の二乗 $R^2 = \|\mathbf{x}^{(N)} - \mathbf{y}^{(N)}\|^2$ を最大化するためのラグランジアン $L$ を構築する。
• 状態変数 $\mathbf{x}^{(n)}$ および駆動 $\mathbf{F}^{(n)}$ に対するオイラー＝ラグランジュ方程式を導出し、ヤコビアン $\mathbf{J}^{(n)}$ および随伴変数 $\boldsymbol{\mu}^{(n)}$ を含む連立式を得る。
• 有効駆動ベクトル $\mathbf{G}^{(n)} = \boldsymbol{\mu}^{(n)} / \lambda$ および総有効駆動 $\mathbf{G}^{(N-1)}$ を導入し、直接的および間接的寄与を統合する。
• 系の動的性質から導かれる行列 $M$ およびベクトル $\Omega$ を用いて、$\mathbf{G}^{(N-1)}$ と $\mathbf{x}^{(N)} - \mathbf{y}^{(N)}$ の間に $\mathbf{x}^{(N)} - \mathbf{y}^{(N)} = M\mathbf{G}^{(N-1)} - \Omega$ の関係が成り立つことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一部の自由度しか直接的に駆動できない多次元カオス的写像において、応答を最大化する最適な駆動関数は何か？
• RQ2 ラグランジュ乗数は、駆動効率および非駆動自由度が受ける有効駆動とどのように関係しているか？
• RQ3 選択的駆動が行われても、軌道の変位と総有効駆動を結ぶ保存量が存在するか？
• RQ4 駆動関数の構造は、非摂動的ダイナミクスおよび系のヤコビアン行列にどのように依存するか？
• RQ5 1つまたは数個の自由度しか駆動不能な高次元系において、この手法は効率的に適用可能か？

主な発見

• 隣接する軌道の変位と有効総駆動関数の積が保存量であることが示され、関係式 $\mathbf{x}^{(N)} - \mathbf{y}^{(N)} = M\mathbf{G}^{(N-1)} - \Omega$ によって裏付けられる。
• 非駆動自由度のラグランジュ乗数 $\gamma_j^{(n)}$ は根本的な物理的役割を果たす：これらは非駆動自由度に及ぼされる有効駆動を決定し、駆動関数の効率を定量化する。
• 最終応答 $R^2$ は総駆動エネルギー $F^2$ に比例し、$R^2 = \lambda F^2$ と表される。ここで $\lambda$ はエネルギー制約に対応するラグランジュ乗数である。
• 有効駆動ベクトル $\mathbf{G}^{(n)} = \boldsymbol{\mu}^{(n)} / \lambda$ は直接的および間接的寄与を統合し、そのノルムが系の応答感度を決定する。
• 1つの自由度のみが駆動される場合、非ゼロの $\gamma_j^{(n)}$ 項の数が減少するため、手法は著しく簡素化され、計算が効率的に行える。
• 駆動関数 $\mathbf{F}^{(n)}$ は $\mathbf{G}^{(n)}$ と $\boldsymbol{\Gamma}^{(n)}$ から導かれる。$\mathbf{F}^{(n)} = \mathbf{G}^{(n)} - \boldsymbol{\Gamma}^{(n)}$ であり、$\boldsymbol{\Gamma}^{(n)}$ は $\mathbf{F}^{(n)}$ に直交するため、エネルギー保存が保証される。