[論文レビュー] Resonant Hamiltonian systems associated to the one-dimensional nonlinear Schr\\"odinger equation with harmonic trapping

James Fennell|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2018

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、調和的トラップを伴う1次元非線形シュレーディンガー方程式（NLS）から導かれる共鳴ハミルトニアン系を研究し、小さな初期データと長時間の下で、全NLSの力学を近似することを証明している。グローバルな適切性、フーリエ変換および調和オシレーターの流れに対する不変性、そして明示的なエルミート関数による無限個の定常解の同定を確立している。

ABSTRACT

We study two resonant Hamiltonian systems on the phase space $L^2(\\mathbb{R} \ ightarrow \\mathbb{C})$: the quintic one-dimensional continuous resonant equation, and a cubic resonant system that has appeared in the literature as a modified scattering limit for an NLS equation with cigar shaped trap. We prove that these systems approximate the dynamics of the quintic and cubic one-dimensional NLS with harmonic trapping in the small data regime on long times scales. We then pursue a thorough study of the dynamics of the resonant systems themselves. Our central finding is that these resonant equations fit into a larger class of Hamiltonian systems that have many striking dynamical features: non-trivial symmetries such as invariance under the Fourier transform and the flow of the linear Scr\\"odinger equation with harmonic trapping, a robust wellposedness theory, including global wellposedness in $L^2$ and all higher $L^2$ Sobolev spaces, and an infinite family of orthogonal, explicit stationary wave solutions in the form of the Hermite functions.

研究の動機と目的

• 1次元非線形シュレーディンガー方程式（NLS）に調和的トラップを伴うキュービックおよびクインティック項を持つ共鳴ハミルトニアン系の力学を分析すること。
• これらの共鳴系が、小さな初期データと長時間の下で、全NLSの力学を正確に近似することを証明すること。
• 共鳴系の内在的力学的特徴、特に対称性、適切性、および定常解を調査すること。
• L^2およびそれ以上のソボレフ空間において、共鳴系の強固な適切性理論を確立すること。
• 正規直交で明示的な定常波解の無限族を同定・特徴づけること、その形はエルミート関数の形を取る。

提案手法

• 小さな初期データの極限における正規形還元を用いて、キュービックおよびクインティックNLSに調和的トラップを伴う連続的共鳴（CR）方程式を導出する。
• 分散型PDEおよび時空共鳴理論の技術を適用し、全NLSの力学が共鳴系によって正当に近似可能であることを裏付ける。
• エネルギー推定と対称性に基づく議論を用いて、L^2およびすべての高階L^2ソボレフ空間でグローバルな適切性を確立する。
• 共鳴系がフーリエ変換および調和的トラップを伴う線形シュレーディンガー流に対して不変であることを同定する。
• 正規直交性を満たすL^2内でのエルミート関数を用いて、無限個の明示的定常解を構成する。
• 共鳴系のハミルトニアン構造を分析し、その背後にある対称性および保存則を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共鳴ハミルトニアン系は、小さな初期データの下で、調和的トラップを伴う全キュービックおよびクインティックNLSの力学をどの程度正確に近似するか？
• RQ2 共鳴系の内在的力学的特徴、例えば対称性や保存則は何か？
• RQ3 共鳴系には、グローバル存在と一意性を含む強固な適切性理論が存在するか？
• RQ4 共鳴系に明示的かつ正規直交な定常解が存在するか？その構造は何か？
• RQ5 共鳴系は、フーリエ変換や調和オシレーターの時間発展といった変換に対して、どの程度不変であるか？

主な発見

• 共鳴系は、小さな初期データの下で、調和的トラップを伴う全キュービックおよびクインティックNLSの力学を有効な長時間近似として提供する。
• 共鳴系は、L^2およびすべての高階L^2ソボレフ空間でグローバルに適切であり、解の長時間存在と一意性を保証する。
• 系は非自明な対称性を示し、特にフーリエ変換および調和的トラップを伴う線形シュレーディンガー時間発展に対して不変である。
• 正規直交で明示的な定常波解の無限族が存在し、エルミート関数によってパラメータ化される。
• 定常解は共鳴ハミルトニアン系の固有関数であり、L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C})において完全な正規直交基底をなす。
• 共鳴系がハミルトニアン的であり、明確なポisson構造を持つことが示され、その力学の厳密な解析が可能となる。